Teoría de grupos y divisores

Question

Aquí el problema es que estoy trabajando en:

Encontrar un divisor $d$ $6! = 720$ tal que $S_6$ no tiene un subgrupo de orden $d$.

Planteamiento Inicial: Así que me factorizada el número de $720$ e aquí son los divisores que se me ocurrió:

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720$

Así que hay un total de 30 divisores para el número de $720$. Creo que sería útil saber cuántos total de subgrupos hay en $S_6$. Encontré este enlace, no se si es de ayuda o no.

Actualización

Así que después de hacer algunas investigaciones, me enteré de que $S_6$ dispone de un total de $1455$ subgrupos, pero la prueba no es por qué esto es cierto. Pero, ¿por qué es esto cierto? Así los divisores de $1455$ se dan de la siguiente manera:

$1, 3, 5, 15, 97, 291, 485, 1455$

Answer 1

No veo cómo saber el número de subgrupos en $S_{6}$ realmente ayuda, pero aquí es un argumento que puede ayudar, siempre y cuando se conozca la clasificación de los grupos de orden $pq$ para distintos números primos $p, q$. Tenga en cuenta que cualquier grupo de orden $15$ debe ser cíclico, ya que $15$ es el producto de los distintos números primos $3$$5$, e $5$ no es congruente a $1$ mod $3$. Por lo tanto, si $S_{6}$ tenía un subgrupo de orden $15$, debe tener un elemento de orden $15$. Pero esto no puede ser, puesto que el orden de cualquier elemento de $S_{6}$ es el mínimo común múltiplo de las longitudes de los ciclos en su disjuntas ciclo de descomposición.