El ejemplo canónico parece ser Cardano la solución de la ecuación cúbica, el cual requiere que no los números reales en algunos casos, aun cuando todas las raíces son reales. La matemática no es tan difícil como se podría pensar; y como un beneficio adicional, hay un jugoso cuento para ir con ella – como la solución fue realmente debido a Scipione del Ferro y Tartaglia.
Aquí está una valoración crítica, basada en algunas de las notas que hice un año y medio atrás:
En primer lugar, el general de la ecuación cúbica $x^3+ax^2+bx+c=0$
se puede transformar en la forma
$$
x^3-3px+2t=0
$$
por una simple sustitución de $x-a/3$$x$.
Podemos muy bien suponer $pq\ne0$, ya que de lo contrario la ecuación es
trivial de resolver.
Así que sustituimos en $$x=u+v$$ y obtener la ecuación en la forma
$$
u^3+v^3+3(uv-p)(u+v)+q=0.
$$
Ahora vamos a añadir el extra ecuación
$$
uv=p
$$
de modo que $u^3+v^3+q=0$. Sustituyendo $v=p/u$ en esta ecuación, entonces
multiplicando por $u^3$, llegamos a
$$
u^6+2qu^3+b^3=0,
$$
que es una ecuación de segundo grado en $u^3$.
Darse cuenta de que intercambiando las dos raíces de esta ecuación corresponde
para intercambiar $u$$v$,
que no cambie $x$,
elegimos una de las dos soluciones, y obtener:
$$
u^3=-q+\sqrt{p^2-p^3},
$$
con la solución resultante
$$
x=u+p/u.
$$
Las tres raíces cúbicas $u$ será, por supuesto, el rendimiento de los tres
soluciones de $x$ de la ecuación original.
Coeficientes reales
En el caso de $u^3$ no es real, que es al $q^2<p^3$,
podríamos escribir en su lugar
$$
u^3=-q+i\sqrt{p^3-p^2},
$$
y nos cuenta que en este caso $\lvert u\rvert=\sqrt{p}$,
así que, de hecho,$x=u+\bar u=2\operatorname{Re} u$.
En otras palabras, todas las raíces son reales.
De hecho, los dos extremos de $x^3-3px+2q$$x=\pm\sqrt{p}$,
y los valores del polinomio en estos dos puntos son
$2(q\mp p^{3/2})$.
El producto de estos dos valores es $4(q^2-p^3)<0$,
que es otra forma de ver que de hecho hay tres reales ceros.
