Requisitos en los campos para los determinantes para reventar la dependencia.

Question

Al estar muy acostumbrado a trabajar en $\mathbb R^n$ $\mathbb C^n$ He jugado un poco con

$$M = \left[\begin{array}{cc} 2&1\\ 1&2 \end{array}\right]$$

Si los elementos están en "enteros mod $3$ ", entonces $$\det(M) = 2\cdot 2-1\cdot 1=4-1=3\equiv 0 (\mod3)$$

Al estar tan acostumbrado a las matrices reales, a primera vista supongo que son linealmente independientes. Pero si duplico la primera columna en realidad obtengo $[4,2]^T \equiv [1,2]^T (\text{mod } 3)$ . ¿Así que en realidad son dependientes de todos modos?

Mi verdadera pregunta es : los determinantes de la voluntad son $0$ nos dicen la dependencia lineal para todos los campos finitos de la misma manera que lo hacen si trabajamos sobre $\mathbb R$ o $\mathbb C$ ¿o hay algún requisito especial en el campo para que los determinantes rompan la dependencia?

Answer 1

En cualquier el determinante es distinto de cero si y sólo si la matriz es invertible (lo que es cierto si y sólo si las columnas son linealmente independientes).

Una dirección es obvia: si $A$ tiene determinante cero, entonces $\det(AB)$ será cero para cualquier matriz $B$ lo que significa que no puede haber un "inverso" $B$ . Es decir, no podemos tener $\det(AB) = \det(I) = 1$

Para la otra dirección, basta con considerar la fórmula $$ A \operatorname{adj}(A) = \det(A)I $$ Como esta fórmula es válida para los números enteros y no requiere división, también es válida para cualquier campo. Si $\det(A)$ es distinto de cero, entonces tiene un inverso multiplicativo, por lo que tenemos $$ A \frac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)} = I $$ lo que significa que $A$ tiene inversa $\frac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}$ .

Answer 2

El determinante siempre da dependencia, sí. Para ver eso, tenemos que notar que una dependencia lineal de las columnas de una matriz $A$ equivale a un vector no nulo en el núcleo de dicha matriz.

Ahora no es tan difícil demostrar que una matriz tiene determinante cero si y sólo si tiene elementos no nulos en el núcleo. Si el determinante es distinto de cero, entonces la matriz es invertible (usando su adjunto) y por tanto no tiene un núcleo no trivial. Si el determinante es cero, utilizamos que sobre un campo tenemos la forma escalonada reducida, que entonces también tiene determinante cero. Como ésta será una matriz triangular, es fácil ver que tenemos elementos no triviales en el núcleo.

De hecho, se puede demostrar para todo anillo conmutativo que el núcleo de una matriz es trivial si y sólo si el determinante no es cero ni un divisor cero, pero la prueba se complica en cuanto perdemos el dominio integral (y por tanto la posibilidad de trabajar en el campo cociente).

Answer 3

Las dos identidades ( $ A $ es una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo $ R $ )

$$ A \operatorname{adj}(A) = \det(A) I $$

$$ \det(AB) = \det(A) \det(B) $$

implican respectivamente que si $ \det(A) $ es una unidad, entonces $ \operatorname{adj}(A) (\det(A))^{-1} $ es un inverso para $ A $ y si $ A $ tiene una inversa, entonces $ \det(A) $ debe ser una unidad, porque $ \det(A^{-1}) $ es entonces una inversa para $ \det(A) $ en $ R $ . En otras palabras, una matriz cuadrada con entradas en un anillo conmutativo es invertible si su determinante es invertible en el anillo terreno.