¿Por qué sugerir "solvencia" para grupos algo acerca de la solución de polinomios?

Question

Vi un par de videos acerca de la solvencia de un general quintic en radicales y estoy un poco confundido acerca de algunos conceptos. Mi confusión principal se encuentra en la siguiente definición;

$\textbf{Def}:$ Solucionable grupo

Un grupo de $G$ dijo ser solucionable si se tiene una serie subnormal $$ G_0 \triangleleft G_{1} \triangleleft \cdots \triangleleft G_{n-1} \triangleleft G_n$$ con $G_n = G$ $G_0 = \left\lbrace e\right\rbrace$ de manera tal que cada una de las sucesivas cociente grupo $G_i/G_{i-1}$ es abelian.

¿Por qué la noción de "solvencia", adjunto a esta propiedad?

Más precisamente, si tengo un polinomio $p(x) \in F[x]$ $F$ un campo y el Grupo de Galois $\operatorname{Gal}(p)$, en un "explicar como soy estúpido"-sentido, lo que se trata de $\operatorname{Gal}(p)$ tener estos aparentemente arbitraria propiedades que las fuerzas de $p$ tener soluciones radicales?

Answer 1

Si el grupo de Galois $ G $ de un finita de Galois de la extensión de $ L/K $ donde $ K $ tiene características de las $ 0 $ es solucionable, a continuación, dejando $ n = [L:K] $, podemos lindan con un primitivo $ n $th raíz de la unidad $ \zeta_n $ $ K $para obtener la extensión de $ L(\zeta_n)/K(\zeta_n) $. Esta extensión también es Galois, y su grupo de Galois $ G' $ incrusta en $ G $ mediante la restricción de automorfismos a $ L $. Desde subgrupos de solucionable grupos se pueden resolver, se deduce que el $ G' $ también es solucionable. Ahora, por primera refinación de la composición de la serie, de modo que cada una de las sucesivas cociente es cíclica y, a continuación, convertir esto en una cadena de subcampos por la correspondencia de Galois, obtenemos una cadena de

$$ K(\zeta_n) = L_0 < L_1 < L_2 \ldots < L_k = L(\zeta_n) $$

donde cada una de las extensiones $ L_{i+1}/L_i $ es de Galois con cíclico grupo de Galois, y el grado dividiendo $ n $. Por Kummer teoría, las extensiones son obtenidos por contigua a la $ n $th raíz de algún elemento en el campo de tierra (esta es la razón por la que hemos adherido $ \zeta_n $ antes de ir a través con este argumento), por lo tanto cada una de las extensiones $ L_{i+1}/L_i $ es un simple radical de extensión, y la extensión de $ L(\zeta_n)/K(\zeta_n) $ es un radical de extensión. Desde $ K(\zeta_n)/K $ es también un radical de extensión, se deduce que el $ L $ se encuentra en algunas radical extensión de $ K $. A la inversa de la dirección es similar.

Answer 2

Lluvia de estrellas la respuesta es brillante, como siempre! Además de la lluvia de estrellas de la respuesta, puedo compartir un ejemplo concreto que yo he encontrado útil cuando yo estaba aprendiendo de este tema?

Considere el polinomio $X^n - 2$$\mathbb Q$. La división de campo de la es $\mathbb Q(\zeta_n, \sqrt[n]{2})$.

Hay una secuencia de campo normal de las extensiones: $$ \mathbb Q \subset \mathbb Q (\zeta_n) \subset \mathbb Q(\zeta_n , \sqrt[n]{2}).$$

En consecuencia, hay una secuencia de grupo de inclusiones: $$ 1 \ \lhd \ {\rm Gal}(\mathbb Q (\zeta_n, \sqrt[n]{2}):\mathbb Q(\zeta_n)) \ \lhd \ {\rm Gal}(\mathbb Q (\zeta_n, \sqrt[n]{2}):\mathbb Q).$$

Ahora, observe que:

• ${\rm Gal}(\mathbb Q (\zeta_n, \sqrt[n]{2}):\mathbb Q(\zeta_n))$ es abelian, porque es un subgrupo de la aditivo grupo cíclico $\mathbb Z_n$. De hecho, todos los automorfismos en ${\rm Gal}(\mathbb Q (\zeta_n, \sqrt[n]{2}):\mathbb Q(\zeta_n))$ enviar $\sqrt[n]{2} \mapsto \zeta_n^a \sqrt[n]{2}$ algunos $a \in \mathbb Z_n$.

• El cociente ${\rm Gal}(\mathbb Q (\zeta_n, \sqrt[n]{2}):\mathbb Q) / {\rm Gal}(\mathbb Q (\zeta_n, \sqrt[n]{2}):\mathbb Q(\zeta_n))$ es isomorfo a ${\rm Gal}(\mathbb Q (\zeta_n) : \mathbb Q)$, por la correspondencia de Galois. Este es también abelian, porque es isomorfo a $\mathbb Z_n^\times$, el grupo multiplicativo de las unidades del modulo $n$: los automorfismos en ${\rm Gal}(\mathbb Q (\zeta_n) : \mathbb Q)$ son de la forma$\zeta_n \mapsto \zeta_n^b$$b \in \mathbb Z_n^\times$.

Así tenemos explícitamente comprobado que ${\rm Gal}(\mathbb Q(\zeta_n, \sqrt[n]{2} : \mathbb Q)$ es una solución de grupo!

Para obtener más complicado ejemplos, se debe considerar una secuencia más larga de campo extensiones. (Vamos a construir nuestro secuencia sucesivamente junto a una $n$th raíz de un elemento de un campo previamente construido, por lo que la longitud de la sequnece dependerá de cuántas veces tenemos que lindan $n$th raíces hasta que hemos construido la división de campo de la polinomio.) Incluso podemos deseo de unirse a todas las $n$th raíces de la unidad por lado, en el principio. Pero cualquiera que sea ejemplo hemos llegado con la idea siempre será fundamentalmente el mismo que en el ejemplo que acabamos de trabajar a través de: en la secuencia correspondiente de grupo de inclusiones, todos los coeficientes serán los subgrupos del grupo aditivo $\mathbb Z_n$, a excepción de la última que va a ser isomorfo a ${\rm Gal}(\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q)$, el grupo multiplicativo de las unidades del modulo $n$.

Por supuesto, esta respuesta sólo se refiere a la "resolubles por radicales" $\implies$ "solucionable grupo de Galois" implicación. Como lluvia de estrellas, explicó, la implicación inversa también funciona - y que resuelve correctamente tu pregunta original. Sin embargo, creo que el avance implicación más intuitiva!