¿Cuál es la forma simbólica de "no existe un número natural más grande" ?

Question

Otros estudiantes en la hora de oficina dijeron que esta es la forma correcta $(\forall x)(\exists y)(y>x)$ { para todo x número natural, existe y tal que y es mayor que x }

Pero "no existe un número natural más grande " $\neg(\exists x)(x\text{ número natural más grande})$

¿Estoy siquiera cerca?

Answer 1

La fórmula $\forall x \exists y (y > x)$ se lee "para cualquier $x$ hay un $y$ que es mayor que $x$", lo cual dice que cualquier $x$ no es el más grande y, por lo tanto, ningún $x$ es el más grande. También puedes usar la fórmula $\forall \equiv \neg\exists\neg$ para obtener

$$ \begin{align*} \forall x \exists y (y > x) &\equiv \neg\exists x \neg \exists y (y > x) \\ &\equiv \neg \exists x \forall y \neg(y > x) \\ &\equiv \neg \exists x \forall y (y \le x) \end{align*} $$

lo cual dice que "no hay un $x$ tal que cada $y$ sea menor o igual que $x$". Esto encaja mejor con la formulación de "no existe un número natural más grande".

Answer 2

La declaración tal como la has escrito es falsa. Si lo lees en voz alta, $x$ tiene que ser elegido antes que $y$ y para todo $x$ puedes encontrar un $y$ mayor. Quieres decir que si eliges $y$. Quieres elegir primero a $y$, luego decir que no es mayor que todos los $x$.

Answer 3

Sí, estás cerca.

Hasta ahora, tienes:

$\neg \exists x \,\,(x\text{ es el número natural más grande})$

Dado que estás buscando la "forma simbólica", tu siguiente paso es convertir "número natural más grande" a símbolos.

• Observa que "número natural más grande" es lo mismo que "número que es mayor que todos los demás números naturales";

• Para hacer las cosas más fáciles, nota que lo anterior es lo mismo que "número que es mayor o igual que todos los números naturales" (¡por lo tanto, incluyéndose a sí mismo sin problema!);

• Reformula aún más como "número tal que todos los números son menores o iguales a él", entonces tenemos:

$x$ es un número tal que todos los números son menores o iguales a $x$

• Observa que esta última oración puede ser fácilmente traducida a símbolos como

$$\forall n \,\,\, n \le x$$

Ahora, simplemente introduce eso en tu oración original, obteniendo:

$\neg \exists x \,\,(\forall n \,\,\, n \le x)$

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Nota 1: Esta no es la única forma correcta de hacer esto. Es posible expresar el mismo hecho de manera diferente.

Nota 2: en el contexto de esta pregunta, está claro que estamos hablando de números naturales. Pero en general, sería mejor especificar esto, escribiendo:

$\neg \exists x \in \mathbb{N} \,\,(\forall n \in \mathbb{N} \,\,\, n \le x)$

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Bonus: Los estudiantes que mencionaste también tienen razón. Ellos optaron por reformular la oración en una oración diferente (pero aún equivalente). En lugar de decir "no hay ningún número natural más grande", están diciendo "todos los números naturales tienen la propiedad de ser más pequeños que algún número", lo cual es lo mismo, al final.

Answer 4

En español: "no hay un número natural n, para el cual todos los naturales k fueran menores que n".

$\lnot \exists n \forall k (k, n) \in \mathbb{N}^2 \land k < n$

Answer 5

Depende de si con el número natural más grande te refieres a un elemento mayor o a un elemento maximal, aunque la diferencia solo sería importante para un orden no total.

Si $(X,<)$ es un conjunto parciamente ordenado, decimos que $a\in X$ es

• un elemento mayor si $\forall x\in X\colon (x< a\lor x=a)$
• un elemento maximal si $\forall x\in X\neg(a

(En un conjunto ordenado totalmente, exactamente una de $xa$ debe ser verdadera, por lo tanto las nociones de elemento mayor y elemento maximal coinciden).

Por lo tanto, "No hay un $a$ tal que $a$ sea un elemento mayor/maximal" se traduce "literalmente" a cualquiera de las siguientes expresiones: $$ \neg\exists a\in \Bbb N\colon \forall x\in\Bbb N\colon (x

Si haces uso de "$\neg\exists=\forall\neg$" y "$\neg\forall=\exists\neg$", podrías escribir equivalentemente $$ \forall a\in \Bbb N\colon \exists x\in\Bbb N\colon (x\not