¿Podemos encontrar siempre una homotopía de dos caminos que se encuentre "entre" los caminos?

Question

Dejemos que $\gamma_0,\gamma_1:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ sean caminos tales que $\gamma_0(0)=\gamma_1(0)$ y $\gamma_0(1)=\gamma_1(1)$ . Quiero demostrar que existe una homotopía $\Gamma:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}^2$ de $\gamma_0$ a $\gamma_1$ que satisfaga lo siguiente:

• Para todos $(s,t)\in[0,1]\times[0,1]$ , $\Gamma(s,t)$ no está en la cara ilimitada de $\gamma_0([0,1])\cup\gamma_1([0,1])$ .

P.D.: Si la respuesta es negativa, ¿hay restricciones adicionales que podamos poner en $\gamma_0$ y $\gamma_1$ que permita esto? (Ej. rectificable, diferenciable, etc.)

Answer 1

Si se permite que el contorno de la unión de esas dos trayectorias forme una curva cerrada simple*, esto es cierto, y puede verse como una consecuencia de la Teorema de Schoenflies junto con el hecho de que el disco es contraíble.

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*Creo que este es el caso, ya que se habla de "cara no limitada".