Forma cerrada $(p-n)!\pmod{p}$ $p$ Dónde está primer

Question

¿$(p-n)!\pmod{p}$ Tiene una forma cerrada para cualquier $n>2$ cuando $p$ es primo?

• $(p-0)!=0 \pmod{p}$

• $(p-1)!=-1\pmod{p}$

• $(p-2)!=1\pmod{p}$

Answer 1

Desde $(p-1)! \equiv -1 \mod p$, $$(p-n)! \equiv \frac{(p-1)!}{\prod_{j=1}^{n-1} (p-j)} \equiv (-1)^{n-1} ((n-1)!)^{-1} \mod p$ $

Answer 2

El caso sólo interesante es $n=1$, que es el Teorema de Wilson.

El caso $n=2$ sigue directamente de $n=1$.

Para el caso $n=3$ uno necesita saber el inverso multiplicativo de $p-2 \bmod p$, $(p-1)/2$. So, $(p-3)! \equiv (p-1)/2 \bmod p$.

Para el caso $n=4$ uno necesita saber el inverso multiplicativo de $p-3 \bmod p$. Ahora $p=3t\pm1$, suponiendo que $p\ne3$. Entonces $(p-4)! \equiv (p\mp 1)(p-1)/6\bmod p$.

Supongo que usted podría continuar pero parece conseguir un...