Para ser específico, ¿por qué se sostiene la igualdad siguiente? $$ \prod_{0\lt n\lt\omega} n = 2 ^ {\aleph_0} $$
Respuestas
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Como un producto de cardenales, sí:
$$2^{\aleph_0} \leq \prod_{0 < n < \omega} n \leq {\aleph_0}^{\aleph_0} \leq 2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0}$$
Como producto de números ordinales, no:
$$\prod_{0 < n < \omega} n \leq \prod_{0 < n < \omega} \omega = {\omega}^{\omega}$ $ pero el ordinal ${\omega}^{\omega}$ es contable.
DanV
Puntos
281
Si $\displaystyle f\in\prod_{n\in\omega} 2$ y $f(n)\in\{0,1\}$, y en particular para $n>1$ tenemos que $f(n)\in n$. Por lo tanto se trata de un subconjunto apropiado de $\displaystyle f\in\prod_{0<n<\omega} n$, por lo tanto la cardinalidad es menos continuo.
Por otro lado $\omega^\omega$ tiene continuo de cardinalidad, y el mismo argumento demuestra que el producto es un subconjunto de $\displaystyle\prod_{n\in\omega}\omega$
