¿Cuál es el producto de todos los cardenales finitos, distinto de cero?

Question

Para ser específico, ¿por qué se sostiene la igualdad siguiente? $$\prod_{0\lt n\lt\omega} n = 2 ^ {\aleph_0}$$

Answer 1

Como un producto de cardenales, sí:

$$2^{\aleph_0} \leq \prod_{0 < n < \omega} n \leq {\aleph_0}^{\aleph_0} \leq 2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0}$$

Como producto de números ordinales, no:

$$\prod_{0 < n < \omega} n \leq \prod_{0 < n < \omega} \omega = {\omega}^{\omega} pero el ordinal ${\omega}^{\omega}$ es contable.

Answer 2

Si $\displaystyle f\in\prod_{n\in\omega} 2$ y $f(n)\in\{0,1\}$, y en particular para $n>1$ tenemos que $f(n)\in n$. Por lo tanto se trata de un subconjunto apropiado de $\displaystyle f\in\prod_{0<n<\omega} n$, por lo tanto la cardinalidad es menos continuo.

Por otro lado $\omega^\omega$ tiene continuo de cardinalidad, y el mismo argumento demuestra que el producto es un subconjunto de $\displaystyle\prod_{n\in\omega}\omega$