El problema del Trivium de Arnold 52

Question

Calcular el primer término de la expresión asintótica como $k \to \infty $ de la integral

$$ \int_ {- \infty }^{+ \infty } \frac {e^{ikx}}{ \sqrt {1+x^{2n}}}dx $$

¿Puedo molestarle para que me explique cuál es el problema y cuál es la intuición detrás de este problema?

Es a partir del problema 52 del artículo Un trivial matemático por Arnol'd.

Answer 1

No estoy seguro de que esta sea la mejor manera de hacer esto, pero aquí hay una forma de usar las integrales de contorno:

Podemos completar la integral con un medio círculo al infinito en el medio plano superior. Sin embargo, este contorno tendría que cruzar cortes de ramas que emanan de los ceros de la radicanda. Para evitar esto, podemos elegir los cortes de rama como líneas verticales que comienzan en los ceros y se alejan del eje real, y cuando llegamos a uno en el infinito, lo seguimos hasta el cero, rodeamos el cero en un círculo infinitesimal, y luego seguimos la rama cortada de nuevo hasta el infinito. No hay contribución del círculo infinitesimal ya que el perímetro va con el radio y el valor de la función va con la raíz cuadrada inversa del radio. El valor de la función cambia de signo a medida que vamos alrededor del cero, y las dos integrales a lo largo del corte de la rama tienen orientaciones opuestas, por lo que ambas dan la misma contribución. No hay polos dentro de este contorno, así que la integral que queremos es simplemente la suma de todas las integrales a lo largo de los cortes de las ramas.

Dado que el integrando decae exponencialmente, para obtener el término principal en la expansión asintótica sólo tenemos que considerar los ceros más cercanos a la línea real. El primero de ellos es $z_0= \exp ( \mathrm i \pi /2n)$ la contribución de la otra en $ \exp ( \mathrm i \pi - \mathrm i \pi /2n)$ es el complejo conjugado. Por lo tanto, estamos buscando

$$ \begin {eqnarray} I=4 \Re\int_0 ^{\; \mathrm i \infty } \frac { \mathrm e^{ \mathrm ik(z_0+z)}}{ \sqrt {1+(z_0+z)^{2n}}} \mathrm dz\;. \end {eqnarray} $$

Para los grandes $k$ sólo en el vecindario inmediato de $z_0$ contribuye a la integral, por lo que podemos aproximarnos a la radicanda de forma lineal:

$$ \begin {eqnarray} I & \approx & 4 \Re\int_0 ^{\; \mathrm i \infty } \frac { \mathrm e^{ \mathrm ik(z_0+z)}}{ \sqrt {2nz_0^{2n-1}z}} \mathrm dz \\ &=& 4 \Re\frac { \mathrm e^{ \mathrm ikz_0}}{ \sqrt {2nz_0^{2n-1}}} \int_0 ^{\; \mathrm i \infty } \frac { \mathrm e^{ \mathrm ikz}}{ \sqrt {z}} \mathrm dz \\ &=& 4 \Re\mathrm e^{ \mathrm ikz_0} \sqrt {- \frac { \mathrm i \pi z_0}{2nk}}\;, \end {eqnarray} $$

donde la raíz cuadrada toma el valor principal. Este término principal decae con $ \exp (-k \sin ( \pi /2n))$ .

En el caso $n=1$ (a la que Jon se refirió en un comentario), sólo hay un único cero en el medio plano superior en $z_0= \mathrm i$ así que el resultado anterior tiene que ser dividido por $2$ .