Converge$\int_0^\infty \frac{x\arctan x}{\sqrt[3]{1+x^4}}dx$?

Question

Tengo que determinar si

$$\int_0^\infty \frac{x\arctan x}{\sqrt[3]{1+x^4}}dx$$

converge o no.

Sospecho que no, porque $\arctan x$ está muy cerca de a $\pi/2$ $x$ va al infinito, y

$$\int_0^\infty \frac{x}{\sqrt[3]{1+x^4}}dx=\infty$$

porque, por ejemplo,

$$\frac{x}{\sqrt[3]{1+x^4}}>\frac{x}{\sqrt[3]{2x^4}}=(2x)^{-1/3}$$

por lo suficientemente grande $x$.

Pero no sé cómo enlazado $\arctan x$ desde abajo para que esto funcione. También sospecho que hay algo más refinado que el de la prueba de comparación para este problema. Realmente no sé el contexto en el que esta integral se acercó, porque yo no asistir al curso, así que no sé cuál de los métodos que debo tratar.

Answer 1

Estás en el camino correcto. Tenga en cuenta que

$$ \frac{x}{\sqrt[3]{1+x^4}} \sim \frac{x}{\sqrt[3]{x^4}},$$

$ x \to \infty. $

Answer 2

Sólo tenga en cuenta que arctan es mayor que π/4 para x suficientemente grande, porque es Monótonamente creciente. Entonces tu argumento pasa por multa.