¿Es irracional?

Question

Supongamos que generar un número $0 < x < 1$. En general, después de la coma decimal, el primer dígito es $1$, el segundo es $0$, el tercero es $1$, etc. Sin embargo, cada dígito en la posición $n$ $1/n$ de probabilidad de ser $2$ lugar. El lugar de las décimas, por ejemplo, debe tener un $2$. El número podría tener este aspecto:

$$x = 0.221210101020101010101010101010121010101010101010101010101010...$$

(Hay un número infinito de posibles valores de $x$. Mi pregunta se aplica a cualquier número en este conjunto, la exclusión de números donde los dígitos que comienza a repetir interminablemente en un punto finito, que tiene 0 probabilidad de ocurrencia. Ex. no interesado en 0.222222...)

Un número no parece ser racional, porque $2$ seguirá pop-up, incluso se vuelve menos frecuente. Sin embargo, como la posición $n$ de un dígito enfoques infinito, la probabilidad de que el dígito de $2$ enfoques $0$. Parece que como $n$ va al infinito (y no son un número infinito de dígitos), dígitos enfoque de comportamiento racional, por falta de una mejor expresión.

Sería este número irracional?

Aclaración: Lo que yo estoy preguntando es si un número será considerado irracional si su dígitos enfoque de "repetición"; si se pudiera decirse que repetir interminablemente en el infinito, pero no en un punto finito.

Answer 1

Si usted consigue infinitamente muchos 2s, pero con lagunas arbitrariamente grandes entre ellos, entonces el número es irracional. Esto sucede con probabilidad uno. (Véase el Teorema de Borel-Cantelli. Supongo que tus eventos con probabilidad 1/n son independientes, no dices de que...)

Pero tenga en cuenta si utilizas probabilidades $1/n^2$ en su lugar, entonces usted consigue (con probabilidad uno) 2s finitamente muchos, por lo que su número es racional.

Answer 2

Suponga que los dígitos no pasar a empezar a repetir interminablemente en un número finito de posición (0.2210101010101010...), ya que la probabilidad de que esto ocurra es 0.

Bueno, entonces es irracional... Un número racional tiene una expansión decimal que es el tiempo periodoc. Si se supone que no es, finalmente, periódico, entonces estás descartando el caso de que es racional.

Creo que lo que usted está confundido acerca de es que no importa cómo se genera su número; es racional, o no lo es. Es posible que su proceso se generará un número racional, a pesar de que la probabilidad de que lo que hace es, de hecho, cero.

Y el asunto es que no se puede hablar de que el número generado por este proceso, y muchos diferente número puede ser generado por este proceso, algunos son racionales, algunos no lo son. Cada número tiene probabilidad cero de que se produzca, y, sin embargo, el proceso siempre será el rendimiento algún número...

Answer 3

Este no es un número, es un conjunto de números. Las probabilidades no tienen sentido aquí, un número es parte de su juego o no lo es. El conjunto es, a continuación, $0.1010\ldots$ donde algunos de los dígitos son reemplazados por $2$. Uno de los números en su conjunto es $0.2222\ldots$, que es racional, otra es $0.101010\ldots$, nuevamente racional. Pero también contiene el número de la $2$ solamente en las posiciones que son cuadrados perfectos, es decir, $0.2012101012\ldots$, que no es una repetición de decimales y por lo tanto irracional.

El conjunto de los números no es contable, por el camino, por lo que tiene que incluir trascendental números (el conjunto de los números algebraicos es contable).

Answer 4

Es no racional. Y no escriba números al azar. Bien, si un dígito tiene cierta 'probabilidad' de que aparecen a continuación no es un número fijo.

Se verá una vez que el número puede ser de 2 y otra vez no. Y puesto que dices que aunque la demostrativa acerca a 0, no existe todavía el posiblemente, incluso minutos, que puede ser el número 2.