Ayuda con suma infinita

Question

Puede usted dar me un Consejo sobre la evaluación de $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)(n+4)}?$ $ he probado fracciones parciales pero la serie no es telescópico con chicos (al menos yo no puedo verlo)...

Answer 1

Sugerencia:

$$\frac{1}{n(n+2)(n+4)}=\frac{1}{4}\frac{n+4-n}{n(n+2)(n+4)}=\frac{1}{4}[\frac{1}{n(n+2)}-\frac{1}{(n+2)(n+4)}]$$

En general:

$$\frac{1}{n(n+d)...(n+kd)}=\frac{1}{kd}\left[\frac{1}{n(n+d)...(n+(k-1)d)}-\frac{1}{(n+d)(n+2d)...(n+kd)}\right]$$

Ahora si dejas $a_n=\frac{-1}{kd}(\frac{1}{n(n+d)...(n+(k-1)d)})$, nos encontramos que: $$\frac{1}{n(n+d)...(n+kd)}=a_{n+d}-a_n$ $ por lo tanto, la suma de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+d)...(n+kd)}$ es una suma telescópica.

Answer 2

HINT: $\dfrac{1}{n(n+2)(n+4)} = \dfrac{1}{8 n}-\dfrac{1}{4(n+2)}+\dfrac{1}{8 (n+4)}.$

Ahora escriba los términos integrales vía $ \int^1_0 x^k dx = \dfrac{1}{k+1}$ e intercambio integral y suma. Usted tendrá una serie geométrica dentro de la cual usted puede evaluar, y entonces usted puede evaluar el integral restante.

Answer 3

$$ \dfrac{1}{n(n+2)(n+4)} = \dfrac{1}{8 n}-\dfrac{1}{4(n+2)} + \dfrac {1} {8 (n + 4)} = \left (\dfrac{1}{8 n}-\dfrac{1}{8(n+2)} \right)-\left(\dfrac{1}{8(n+2)}-\dfrac {1} {8 (n + 4)} \right)$$

y cada soporte conduce a una suma telescópica...