¿Por qué el mínimo de estas funciones ocurre en un lugar especial? ¿Cómo usar la derivada para encontrar el mínimo de estas funciones? $$|x-1| + |x-2| + \dots + |x-9|$$ el mínimo es para $x = 5$ $$|x-1| + |x-2| + \dots + |x-99|$$ el mínimo es para $x = 50$ $$|x-1| + |x-2| + \dots + |x-999|$$ el mínimo es para $x = 500$ $$ \dots$$ ¿por qué sucede?
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Supongamos que $a_1\lt a_2\lt a_3\lt \cdots\lt a_9$. Consideremos la función $$f(x)=|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_9|.$$ Entonces $f(x)$ es la suma de las distancias de $x$ a los $a_i$.
Imagina que los puntos $a_1,a_2,\dots,a_9$ están en el eje $x$. Un pequeño insecto está en el eje $x$, bastante a la izquierda de $a_1$, y comienza a caminar en dirección a la derecha.
Por cada pequeño paso $s$ que da, la suma de sus distancias a los $a_i$ disminuye en $9s$. Esto continúa hasta que llega a $a_1$. Ahora, por cada pequeño paso $s$ que da, su distancia de cada uno de los $a_2,a_3,\dots,a_9$ disminuye en $s$, y su distancia de $a_1$ aumenta en $s$, para una disminución total de $7s$.
Esto continúa hasta que llega a $a_2$. Luego, por cada paso $s$ que da, su distancia de cada uno de $a_3$ a $a_9$ disminuye en $s$, y su distancia de cada uno de $a_1$ y $a_2$ aumenta en $s, para una disminución total de $5s$.
Cuando llega a $a_3$, por cada pequeño paso a la derecha, hay una disminución total de $3s$. Cuando llega a $a_4$, hay una disminución total de $s$ por cada pequeño paso a la derecha. Cuando llega a $a_5$ y da un pequeño paso, hay un aumento de $s$ por cada pequeño paso a la derecha. Y las cosas empeoran a medida que avanza hacia la derecha. Por lo tanto, el valor mínimo de $f(x)$ se alcanzó en $x=a_5$.
Exactamente la misma idea muestra que si tenemos $a_1\lt a_2\lt\cdots \lt a_{2m-1}$, y $f(x)=|x-a_1|+\cdots+|x-a_{2m-1}|$, entonces $f(x)$ alcanza un mínimo en $x=a_m$.
Observación: La situación es ligeramente diferente si tenemos un número par de puntos $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_{2m}$. Entonces, el valor mínimo de $f(x)$ se alcanza en todos los puntos $x$ tales que $a_m\le x\le a_{m+1}$.
En otras palabras, si tenemos un número impar de términos, entonces $f(x)$ se minimiza en la (única) mediana de los $a_i$. Lo mismo es cierto con un número par de términos, excepto que hay infinitas medianas.
Es importante destacar que, en contraste, $g(x)=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+\cdots +(x-a_n)^2$ se minimiza en la media $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ de los $a_i$.
vadim123
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54128
La función $|x-3|$ mide la distancia de $x$ a $3$. La función $|x-3|+|x-4|$ agrega la distancia entre $x$ y $3$, a la distancia entre $x$ y $4$. Esa distancia es exactamente 1 para cada $x$ entre $3$ y $4, y mayor que $1$ si $x$ está fuera del intervalo $[3,4]$. La función $|x-3|+|x-4|+|x-5|$ suma las tres distancias entre $x$ y $3,4,5$. Debido a que $|x-3|+|x-5|$ es constante en todo el intervalo $[3,5]$ (y mayor afuera), el mínimo está determinado totalmente por $|x-4|$, que se minimiza en $4$ y en ningún otro lugar.
Continuando de esta manera, $|x-1|+|x-2|+\cdots+|x-c|$ es la distancia total entre $x$ y cada uno de los valores $1,2,\ldots, c$. Si hay un número par de términos (es decir, $c$ es par), entonces hay un intervalo de longitud 1 en el medio donde la función se minimiza. Si hay un número impar de términos (es decir, $c$ es impar), entonces hay un solo punto, en el medio, donde la función se minimiza.
alphageek
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477
Supongo que el truco es considerar la derivada para diferentes valores de $x$, por ejemplo: si $ x < 1$, entonces la derivada de $|x - 1|$ es igual a $-1$ y esto es cierto para todos los otros términos también, por lo tanto la derivada es $-9$.
Si $x$ está entre $1$ y $2$, entonces el primer término $|x -1|$ contribuye positivamente con $+1$ a la derivada y por lo tanto la derivada ahora es $-7$ (8 contribuciones negativas, 1 contribución positiva).
Avanzando unos pasos, vemos que si $x$ está entre $4$ y $5$, entonces tenemos $4$ términos contribuyendo con $+1$ y $5$ términos contribuyendo con $+1$, por lo tanto la derivada es igual a $-1$.
Si, por otro lado, $x$ está entre $5$ y $6$, tenemos $5$ términos contribuyendo con $+1$ y $4$ términos contribuyendo con $+1$, por lo tanto la derivada es igual a $+1”.
Por lo tanto, la derivada cambia de signo de negativo a positivo en $x = 5$ y por lo tanto $x = 5$ es el mínimo.
Los otros ejemplos funcionan de la misma manera.
Alexander
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Para encontrar el mínimo en este tipo de ecuaciones, tomamos el promedio de los valores y lo igualamos a $x$, porque queremos encontrar $x$ de tal manera que esté equidistante de los puntos dados.
Por ejemplo, para el primero, $$\frac{(1+2+\cdots+9)}{10}=5$$
De manera similar para el segundo, $$\frac{(1+2+\cdots+99)}{100}=50$$
Michael Hardy
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128804
$|x-7|$ es la distancia entre $x$ y $7$.
Observa la secuencia de números $1,2,3,4,5,6,7,8,9$. El que está en el medio es el $5$. Cuatro de los números son menores que $5$ y cuatro son mayores. En otras palabras, $5$ es la mediana.
Ahora supongamos que $x$ está en algún punto entre $3$ y $4$. Tres de los números en la lista son menores que $x$ y seis son mayores. Eso significa que si $x$ aumenta, se aleja de tres de los números y se acerca a seis de ellos. Dado que los que se acercan superan en número a los que se alejan, la suma de sus distancias a todos ellos disminuye.
De manera similar, si $x$ está entre $7$ y $8, esa distancia total de $x$ a todos los demás disminuye si $x$ es más pequeño.
Resumen: la distancia total --- la suma de todas las distancias de $x$ a los demás --- disminuye cada vez que $x$ se mueve hacia el número que está en el medio.
