Fórmula de límite celular

Question

En Hatcher libro nos encontramos, en el cómputo de los mapas de los límites de la telefonía celular de homología,

Celulares Límite de la Fórmula: $d_n(e^{n}_\alpha)=\sum_\beta d_{\alpha\beta}e^{n-1}_{\beta} $ donde $d_{\alpha\beta}$ es el grado del mapa de $S^{n-1}_\alpha \rightarrow X^{n-1}\rightarrow S^{n-1}_\beta$ que es la composición de la fijación de mapa de $e^{n}_\alpha$ con el cociente mapa colapso $X^{n-1}- e^{n-1}_\beta $ a un punto.

Mi pregunta es:

Cuando nos identificamos $X^{n-1}/(X^{n-1}- e^{n-1}_\beta)$$S^{n-1}_\beta$, estamos eligiendo una homeomorphism. No esta elección afecta el grado de la mapa en cuestión?

Esencialmente (como yo lo veo), debemos elegir un cociente mapa de $D^{n-1}$ $S^{n-1}$que identifica a $S^{n-2}$ a un punto.

Answer 1

La izquierda flecha vertical en el diagrama superior, hasta el isomorfismo se describe en el gráfico inferior, la inclusión de un directo $\Bbb Z$-sumando en la suma directa. Para redactar esta inclusión con $d_n$ y, posteriormente, con el mapa de a $\tilde H_{n-1}(S^{n-1}_\beta)$, que de manera algebraica es la proyección sobre la directa sumando para $\beta$, se obtiene la composición de la $\Delta_{\alpha\beta*}\partial$. Si cambiamos el homeomorphism $h_β:D_β/∂D_β\to S_β$, por lo que el "típico" generador de $H_{n-1}(D_β,∂D_β)$ obtiene asigna ahora a la negados "típico" generador de $H_{n-1}(S_β)$, entonces cada una de las $e_β$ entre las imágenes de las células bajo $d_n$ es reemplazado por $-e_β$. Sin embargo, cada una de las $e_β$ entre los generadores del núcleo de $d_{n-1}$ también tendría que ser reemplazado por $-e_β$ desde el valor de $d_{n-1}(e_β)$ ha sido negada por el cambio de la homeomorphism. Así que en general nada iba a cambiar.

Answer 2

Observe que cualquier Homeomorfismo tiene grado $1$, que induce un isomorfismo de homología. Por lo tanto no es absolutamente ningún problema relacionado con una opción en la construcción de homología celular.