constante de $\int_0^1 (f(x))^n =$, $f\geq 0$, entonces el $f$ es una función característica de un conjunto medible.

Question

$\int_0^1 (f(x))^n =$ constante, $f\geq 0$, $f$ es una función característica de un conjunto medible. Este es el resultado de la pregunta de la parte (a).

Ahora para la parte (b), también se mantienen cuando el supuesto de $f\geq0$ es eliminado?

Aquí están mis pensamientos. Ya que el resultado de la parte (a) tiene por $f^2 \geq 0$, $f^2$ es una función característica de un conjunto medible. Ahora si $f$ toma el valor de $-1$ sobre un conjunto de medida positiva, $\int_0^1 (f(x))^n$ no sería constante para pares e impares $n$.

Es esto correcto? Gracias!

Answer 1

Sí, es correcto.

También se podría utilizar

$$\int f^2 - f =0$$

por supuesto, sino (porque $f^2$ es una función característica, por lo que $f$ es de módulo uno) $f^2 - f = |f|-f\geq 0$, que $|f| = f$ a.e., los rendimientos para que usted pueda aplicar (a).