¿Puede ' encontrar la falla en el razonamiento para esta prueba por inducción?

Question

Yo estaba mirando por encima de este problema y no estoy seguro de lo que está mal con esta prueba por inducción.

Aquí está la pregunta:

Encontrar la falla en la inducción de la prueba.

Reclamación $3n=0$ todos los $n\ge 0$.

Base para $n=0$, $3n=3(0)=0$

Asumir la Hipótesis de Inducción: $3k =0$ todos los $0\le k\le n$

Escribir $n+1=a+b$ donde $a>0$ $b>0$ son números naturales de cada uno de los menos de $n+1$

A continuación, $3(n+1) = 3(a+b) = 3a + 3b$

Aplicar la hipótesis de Inducción a$3a$$3b$, mostrando que el $3a=0$ y $3b=0$. Por lo tanto, $3(n+1)=0$

La declaración de que están tratando de demostrar que es claramente absurdo, pero estoy teniendo problemas con la lógica de la prueba por inducción. Parece que la persona que escribió esta prueba utilizado fuerte de inducción y aplicar la hipótesis de inducción a la prueba de la implicación.

Answer 1

El problema es no funciona para el primer paso después del caso base: no existen $a \gt 0$, $b \gt 0$ tal que $a + b = n + 1$ cuando $n = 0$. Se trata de una variante de todos los caballos son del mismo color.

Answer 2

Dice "escribir n + 1 = un + b donde a y b son mayores que 0". Que no se puede hacer en su caso base n = 0. No pueden hacer ninguna suposición en su paso de inducción que no son igualmente válidas en el caso inicial.

En otras palabras... su inducción paso asume tanto 3 k = 0 y k $\ge $ 1. Usted nunca hizo y no puede hacer cualquier caso inicial donde ambas son verdaderas.

Answer 3

Otros han dado la razón de que la prueba se rompe. Me explico, en lugar de cómo encontrar el fallo. Sabemos que la afirmación es verdadera para $n = 0$ pero falsa para $n = 1$. Por lo tanto, algo tiene que ir mal para $n = 1$. Desde el reclamo por $n = 1$ se basa sólo en el reclamo por $n = 0$, y el último es verdad, lo que debe ir mal, es el paso donde se nos muestran que la reivindicación de $n = 0$ implica que el reclamo por $n = 1$. Esto conduce al descubrimiento compartido por las otras respuestas, que $1$ no puede ser escrito como la suma de dos más pequeños números naturales.

Aquí hay otra manera. A menudo hacemos regular de la inducción, en la cual se derivan $P(n+1)$$P(n)$. Aquí se utiliza el fuerte de inducción, pero que parece innecesario: si $n+1 = a+b$, que no podemos simplemente tomar $b = 1$? Que permitirá derivar $P(n+1)$$P(n)$$P(1)$. Una vez que tenemos en cuenta las consecuencias para $n = 1$, podemos encontrar inmediatamente el error.