¿Como el título dice, son los términos función densidad de probabilidad y distribución de la probabilidad (o sólo "distribución") intercambiables? Si no es así, ¿cuál es la diferencia?
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¿Demasiados anuncios?
Dilip Sarwate
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La frase función de densidad de probabilidad (pdf) significa una cosa específica: una función de $f_X(\cdot)$ para una determinada variable aleatoria $X$ (que es lo que que subíndice no es para, para distinguir esta función de los archivos pdf de otras variables aleatorias) con la propiedad de que para todo los números reales $a$ $b$ tal que $a < b$, $P $\{a < X \leq b\} = \int_a^b f_X(u)\,\mathrm du = \int_a^b f_X(v)\,\mathrm dv = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm dt.$$ Las diferentes integrales están destinadas a servir como un recordatorio de que no importa en lo mas mínimo con el símbolo que utiliza como argumento de $f_X(\cdot)$ y que es no es el caso (como es lamentablemente demasiado a menudo se cree que por aquellos que se están iniciando en este tema) que el argumento debe ser la letra minúscula correspondiente a la letra mayúscula que indica la variable aleatoria. Tambien insisten en que $$\int_{-\infty}^\infty f_X(u)\,\mathrm du = 1.$$ Si $P\{X = \alpha\} > 0$ para algún número real $\alpha$, luego $X$ no tiene un archivo pdf, excepto para aquellos que incorporan Los deltas de Dirac en su probabilidad de cálculo.
La función de distribución de probabilidad acumulativa (cdf o CDF) $F_X(\cdot)$ $X$ es la función definida como $$F_X(\alpha) = P\{X \leq \alpha\}, -\infty < \alpha < \infty.$$ Está relacionado con el archivo pdf (para las funciones que tiene un pdf) a través de $$F_X(\alpha) = \int_{-\infty}^\alpha f_X(u)\,\mathrm du.$$
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Si bien puede haber una definición muy restrictiva de la frase de distribución de probabilidad de que algunas personas insisten en en el uso coloquial del término ampliamente abarca la pdf y el CDF y el pmf (función de masa de probabilidad que es también llamado el ddf o discreta función de densidad) y lo otra cosa que es posible que desee incluir como descriptivo de la probabilístico el comportamiento de una variable aleatoria. Por ejemplo, la frase
la distribución de probabilidad de $X$ es uniforme en $(a,b)$
difícilmente se interpreta en el sentido de que la CDF de $X$ tiene el valor de la constante en $(a,b)~$!! Aunque es la la distribución que está supuesta a ser uniforme, todo el mundo en su mente se llevará a que en el sentido de que el densidad de $X$ tiene el valor de la constante $(b-a)^{-1}$ sobre el intervalo de $(a,b)$ (y tiene valor $0$ en otros lugares). Del mismo modo, para "$X$ es uniformemente distribuida en $(a,b)$" cuando lo que quiere decir es que el pdf de $X$ tiene el valor de la constante en $(a,b)$.
Como otro ejemplo coloquial de uso de la distribucióna la media de densidad, considere esta cita de un recientemente publicado responder por el Moderador Glen_b.
"Diciendo: el modo implica que la distribución tiene uno y sólo uno."
Una densidad de poseer un único modo pero un CDF no puede tener un único modo (en la extendió reales). Sin embargo, no hay una lectura que cita es probable pensar que Glen_b significaba el CDF cuando escribió "distribución".
EdM
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En términos de uso común, considerar el análisis de la terminología utilizada en R. de La Descripción de las Distribuciones {estadísticas} en la página de ayuda dice:
De densidad, función de distribución acumulativa, los cuantiles de la función y de azar de la variable aleatoria generación para muchas estándar de las distribuciones de probabilidad están disponibles en las estadísticas de paquetes.
Para cada uno de los integrados en las Distribuciones, que ofrece (de acuerdo a las páginas de ayuda individual) la "densidad" (por ejemplo dnorm de lo Normal, dbinom para Binomial) y la "función de distribución" (por ejemplo, pnorm, pbinom; llama la "función de distribución acumulativa" en las principales Distribuciones de la página, como se cita más arriba).
Así, uno podría interpretar que la "distribución de probabilidad" describe (tal vez un miembro de una familia de distribuciones, la "densidad" puede ser utilizado para distribuciones discretas como la binomial, y la frase "la función de distribución" podría ser preferido sobre "distribución" cuando la función de distribución acumulativa es lo que se pretende.
Alternativamente, uno podría argumentar que el uso común incluso entre los experimentados a menudo depende del contexto para mayor claridad.
