Deje $G=\text{Gal}(\overline{\mathbf Q}/\mathbf Q)$, y para cada uno de los prime $p$, elija una incrustación $\overline{\mathbf Q} \hookrightarrow \overline{\mathbf Q_p}$. Deje $\sigma_p$ ser una opción de Frobenius en $\text{Gal}(\overline{\mathbf Q_p}/{\mathbf Q_p})$ y denotan también por $\sigma_p$ su imagen en $G$ por el mapa de restricción $\text{Gal}(\overline{\mathbf Q_p}/{\mathbf Q_p}) \hookrightarrow G$.
Deje $H$ ser el subgrupo de $G$ generado por el $\sigma_p$'s. Por el Chebotarev densidad teorema, $H$ es denso en $G$.
Pregunta: Es $H$ libre en los generadores $\{\sigma_p\}$?
Parece a mí que esto es cierto. Cualquier relación entre el $\{\sigma_p\}$'s $G$ descendería a la relación entre la (escogido) Frobenii de cualquier finita de Galois de la extensión de $\mathbf Q$. Parece poco probable que hay una relación universal.
(Curiosamente, no es una relación si se incluyen también los Frobenius en $\infty$, es decir, el complejo de conjugación que satisface $\sigma^2=1$.)
Estoy interesado en el resultado de morfismos de profinite grupos $\widehat{H} \to G$ donde $\widehat{H}$ es el profinite finalización de $H$ considera como un grupo discreto. Si $H$ es realmente libre en el$\{\sigma_p\}$, $\widehat{H}$ es profinite libre en el $\{\sigma_p\}$. Es este homomorphism un isomorfismo? A mí me parece que debería de ser un bijective homomorphism de profinite grupos, pero que probablemente no es una homeomorphism (ya que después de todo, en la construcción de $\widehat{H}$ nos olvidamos de la topología en $H$ inducida por la de $G$)...
