¿Son todos los grupos de mentira grupos de matriz se encuentran?

Question

Tengo la barba un poco sobre lo que se denomina matriz de Mentira grupos. Por lo que yo entiendo (y yo no lo entiendo así) una matriz Mentira grupo es un subgrupo cerrado de $GL_n(\mathbb{C})$.

También existe la idea de una Mentira grupo. Es algo acerca de un suave colector el colector $M_n(\mathbb{C})$.

También he oído algo diciendo que se encuentran todos los grupos son, de hecho, isomorfo a una matriz de Lie del grupo. Es esto correcto? Podría alguien darme un poco más de detalle acerca de esto? Lo que, por ejemplo, es el isomorfismo? Es de resumen de grupos, colectores, o ...?

Answer 1

Como otras respuestas mencionar, no es cierto que cualquier Mentira group es un grupo de matrices; contraejemplos incluyen la cobertura universal de $SL_2(\mathbb{R})$ y el metaplectic grupo.

Sin embargo es cierto que todo compacto Mentira grupos son la matriz de los grupos, como consecuencia de Peter-Weyl teorema.

También es cierto que cada finito-dimensional Mentira grupo tiene un número finito de dimensiones Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ que es un álgebra de matrices. (Este es Ado del teorema.)

En cierto sentido, la Mentira de álgebra de Lie del grupo de captura de "la mayoría" de la información acerca de la Mentira de grupo. Finito-dimensional álgebras de Lie son en bijective correspondencia con finito-dimensional simplemente conectados a la Mentira de los grupos. Así que, dado que un arbitrario Mentira grupo $G$, pasando a su Mentira álgebra cantidades de pasar a la universalización de la cobertura de la conexión de los componentes de la identidad de $\widetilde{G_1}$. Nota a pesar de que simplemente conectados a la Mentira de los grupos no son, en general, la matriz de grupos; $\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$ es un contraejemplo.

Answer 2

No todos los grupos de mentira son los grupos de matriz. Considerar el grupo de metaplectic. De wikipedia:

El grupo de metaplectic $M_{p_2}(\mathbb{R})$ no es un grupo de la matriz: no cuenta con ninguna representación finito-dimensional fiel. Por lo tanto, la cuestión de su realización explícita es no trivial. Tiene fieles irreducibles Infinito-dimensionales las representaciones, como la representación de Weil que se describe a continuación.

Answer 3

Un grupo de Lie es un grupo $(G,m,i)$ donde $m \colon G \times G \rightarrow G$ es la multiplicación y $i \colon G \rightarrow G$ es el mapa inverso que es también un múltiple liso tal que $m$ y $i$ son mapas lisos.

Muchos grupos de mentira son subgrupos de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ pero no es cierto que cualquier grupo de mentira es isomorfo a un subgrupo de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Por ejemplo, la cobertura universal de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ no es un grupo de la matriz.