No creo que la notación $H^1_0$ es absolutamente estándar. Voy a asumir que denota un subespacio denso de $H^1$ tal que $fg\in L^1$ por cada $f\in H^1_0$$g\in BMO$; hay varios subespacios con esta propiedad, pero no importa por debajo de la cual uno de los que estamos hablando.
La respuesta a tu pregunta es "sí o no, dependiendo de cómo definamos que convvolution".
No: Como una especie de sugerencia, $f\in H^1$ $g\in BMO$ no implican $fg\in L^1$, por lo que la integral de la definición de $f*g$ no tiene que existir. Así que si insistimos en que la convolución es definida por la integral de la la respuesta es claramente no; algo que no existe no puede ser en $L^\infty$.
Sí: Por otro lado, se pasa todo el tiempo que ampliamos la noción de convolución a situaciones en las que la integral no converge (la convolución de una distribución con una función de prueba, por ejemplo). Si $X$ es cualquier espacio de Banach de funciones en la línea de que es invariante bajo traslaciones y reflexión, a continuación, hay un modo perfectamente natural noción de $f*g$$f\in X$$g\in X^*$. En la situación actual, siendo sólo un poco pedante:
Por supuesto, cuando nos dice $(H^1)^*=BMO$ nos referimos a esto: Si $g\in BMO$ existe un único $\Lambda_g\in (H^1)^*$ tal que $$\Lambda_g f=\int fg\quad(f\in H^1_0).$$Although the integral need not converge, if $f\H^1$ and $g\en el BMO$ then people often write $$\int fg=\Lambda_g f,$$donde, estrictamente hablando, el lado derecho es la definición de la izquierda.
Si hemos de interpretar la integral de la definición de la convolución en ese sentido, a continuación, sí, $f\in H^1$ $g\in BMO$ implican $f*g\in L^\infty$.
¿Qué acerca de la desigualdad? De nuevo, la respuesta es "depende". Hay varios equivalente (estándar) de las normas sobre el $H^1$$BMO$. Si elegimos nuestras normas, de modo que $||\Lambda_g||_{(H^1)^*}\le||g||_{BMO}$, entonces sí, es claro que $$||f*g||_{L^\infty}\le||f||_{H^1}||g||_{BMO}.$$ Of course with any other choice of (equivalent) norms we get $||f*g||_{L^\infty}\le c||f||_{H^1}||g||_{BMO},$ lo suficientemente bueno para aplicaciones.
Quizás también tenga en cuenta que $f*g$ es continua; esto es claro, porque si $f\in H^1$ $\tau_hf(x)=f(x-h)$ $$||f-\tau_hf||_{H^1}\to0\quad(h\to 0).$$
Por lo que es, sí o no? Si alguien me obligó a sustituir a la anterior con una respuesta de una palabra diría "sí", simplemente porque las personas hacen interpretar la integral de esa manera. (O: Porque si $X_0$ es un subespacio denso de $X$ $T:X_0\to Y$ es lineal y acotado, entonces a la gente hacer interpretar $Tf$ $f\in X$ en la forma obvia, independientemente de si el original de la definición de las $T$ tiene sentido para $f\in X$.)
(Otoh si asumimos $f\in L^1$$g\in BMO$, entonces como que sugieren que la respuesta es no, simplemente no hay tal cosa como $f*g$.)
