Actualmente estoy inscrito en un operador espacios curso y me estoy dando cuenta que es difícil entender por qué se estudia en el primer lugar. El análisis funcional es motivado suficientemente bien para mí y aunque no tengo un asimiento firme en ellos, supongo que puedo ver por qué $C^{\ast}$-álgebras se estudió también (sólo a partir de una mecánica cuántica punto de vista). Sin embargo, no veo cuál es la motivación para el estudio de los espacios de operadores o por qué son útiles o importantes. Cuál es su motivación? Lo que llevó a la gente a estar interesados en ellos, y por qué es tan especial acerca completamente delimitada/positivo mapas que estudiamos?
Respuesta
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En resumen, la lista de razones es:
1) La tendencia moderna de las matemáticas hoy en día es desarrollar no conmutativa análogos de conocidas teorías. Vagamente hablando operador espacios normativa de los espacios más "no-conmutativa" escalares, de hecho, más de matricies.
2) hubo varios problemas de larga data, que se resolvieron a través de métodos de operador de espacio de la teoría. Tan pronto como un problema que está incrustado en su entorno natural, la solución llega de una manera natural. Por ejemplo, gracias a D. P. Blecher, tenemos un criterio para un álgebra de Banach $A$ a ser isomorfo como álgebra a un cerrado subalgebra de $\mathcal{B}(H)$: la multiplicación en álgebra de Banach debe ser completamente delimitada por alguna incrustación de objetos (como normativa espacio) $A$ en algunos de espacio de operadores acotados.
3) los Matemáticos no sólo demostrar teoremas, pero también supongo que las buenas definiciones. Si una definición es buena o no se hacen evidentes sólo después de su uso en teoremas. Resulta que algunas nociones es mejor para definir dentro del ámbito de aplicación del operador de espacio de la teoría. Por ejemplo, el criterio de disponibilidad de Fourier álgebra $A(G)$ localmente compacto grupo de $G$ fue muy natural. Pero si tenemos en cuenta que a una simple conveniencia, sino un operador de conveniencia, a continuación, tenemos un buen caracterización en el sentido de B. Johnson: la transformada de Fourier de álgebra es operador ameanable iff su grupo es ameanable.
4) los espacios de operadores poseen algunas inesperadas propiedades interesantes. Por ejemplo, en esta teoría tenemos un producto tensor que tanto inyectiva y proyectiva y lo que es más no es conmutativa! También, gracias a W. F. Steinspring, tenemos una descripción explícita de los mapas entre espacios de operadores. Para el clásico de la normativa de espacios de este problema es desesperado.
La mayoría de los que he escrito aquí es un copiar-pegar del libro Cuántica, Análisis Funcional: No-coordinar enfoque por A. Ya. Helemskii.
