¿Qué absolutas en todos los modelos transitivos de ZFC, y cómo una prueba esta absolutez?

Question

Así, algunos de primer orden son las frases absoluta en todos los modelos transitivos de ZFC - por absoluta, es decir que cualquiera de las que son falsas en todos los modelos transitivos, o verdadera en todos los modelos transitivos.

¿Cuáles serían ejemplos de tales absolutismo? Y, ¿cómo se hace generalmente de probar estos?

(Por ejemplo, una declaración como "Hay un conjunto que es un $\omega$-modelo de ZFC" es absoluta, y quiero saber como lo demuestra este tipo de declaración.)

Edit: voy a leer Kunen junto con Jech, pero todavía me gustaría saber una razón/la prueba que demuestra por qué la $\Delta_1$ frases son absolutos.

Answer 1

Una técnica para demostrar que una oración es absoluta para modelos transitivos de $ZFC$ es para demostrar que es equivalente a un $\Delta_0$ fórmula (fórmula en la que cada variable está ligada). Algunos ejemplos de esto son:

• $x$ es un ordinal
• $x = 0$
• $x$ es un límite/ordinal sucesor
• $f$ es una función inyectiva/surjective
• etc

Por ejemplo, $x$ es un ordrinal $iff$ $x$ es transitivo y bien ordenado por $\in$ es decir $iff$ $\forall y \in x (\forall z \in y (z \in x)) \wedge$ $\forall y \in x (y \notin y) \wedge \forall a,b,c \in x (a \in b \wedge b \in c \implies a \in c) \wedge \forall y,z \in x (y \in z \vee z \in y \vee z = y) \wedge$ $\forall y \subseteq x (y \neq \emptyset \implies \exists z \in y \forall z' \in y (z' \notin z)$

La primera línea dice $x$ es transitiva, el segundo dice $\in$ totalmente órdenes de $x$ y el último dice $\in$ está bien fundada en a $x$ (por supuesto, previamente, se hubiera necesitado para mostrar que $\subseteq$ es también absoluta (esto es, aún más, su $\Delta_0$).

Esta es la ruta más sencilla de probar que algo es absoluto. Como Andrés señala incluso más puede ser demostrado es decir, si usted tiene un $\Delta_1$ declaración, entonces es absoluto así. En general, la técnica es sólo para relativizar la sentencia sea cual sea el modelo que usted está considerando, pero por supuesto que se vuelve muy aburrido muy rápido. Yo diría que la presentación en Kunen es muy buena y es claro que un montón de cosas para usted. Esperamos que esto les ayude un poco!

Answer 2

Las pruebas de estas afirmaciones se puede encontrar en la costumbre de libros, así que permítanme hablar de la razón por la que tenemos el absolutismo, para empezar.

Primero de todo, el rasgo de transitivas modelos es que son subestructuras del universo. Si $M$ es un modelo transitivo, y $M\models x\in y$$x\in y$. Esto, y la transitividad de la $M$, por supuesto, es la razón principal por la $\Delta_0$ fórmula son absolutos.

Recordemos que un $\Delta_0$ fórmula es una fórmula es equivalente a una fórmula escrita usando delimitada cuantificadores, por ejemplo,$\varphi(x)$$(\exists y\in x)(\forall z\in y)(z\notin x)$. Pero acotado a la cuantificación de paso entre el transitiva modelos exactamente porque son transitivos, si $M\models(\exists y\in x)(\forall z\in y)(z\notin x)$ luego de esta declaración tiene por el real $\in$ relación, y se mantiene para todos los miembros de $x,y,z$ y así sucesivamente.

Por otro lado, si $V$ satisface $\varphi(x)$, e $x\in M$, entonces por transitividad no es difícil ver que $y$ que existe también radica en $M$, y que todos los $z\in y$ también se encuentra en $M$, y por lo tanto $M$ satisface esta fórmulas así.

Formalmente podemos demostrar esto por inducción sobre el número de cuantificadores, o longitud, o la complejidad de la fórmula. Lo que usted encuentra el más fácil, tampoco es muy difícil.

La razón de $\Delta_1$ absolutismo es un poco más complicado, pero es un muy buen truco de hecho. Deje $\varphi(x,y)$ $\Delta_0$ fórmula, si por alguna $x\in M$ tenemos que $M\models\exists y\varphi(x,y)$ $M$ conoce acerca de un testigo para $\varphi(x,y)$. Pero ahora tenemos este testimonio en el universo, y $\varphi(x,y)$ $\Delta_0$ fórmula, por lo $\varphi(x,y)$ ocupa en el universo, por lo $\exists y\varphi(x,y)$ que es verdad en el universo.

Del mismo modo, si $\forall y\varphi(x,y)$ ocupa en el universo, y $x\in M$ entonces se mantiene para todos los $y\in M$, e $\varphi(x,y)$ es de nuevo un $\Delta_0$ fórmula, por lo que es absoluto y $M\models\varphi(x,y)$ por cada $y\in M$, y por lo tanto $M\models\forall y\varphi(x,y)$.

Así cuantificación existencial sube y cuantificación universal va hacia abajo. Pero, ¿qué es un $\Delta_1$ fórmula? Es una fórmula que es equivalente a una cuantificación existencial de una $\Delta_0$ fórmula, y que equivale a una cuantificación universal de una[tro] $\Delta_0$ fórmula. Uno es absoluta hacia arriba y el otro hacia abajo haciendo que nuestro $\Delta_1$ fórmula absoluta en ambas direcciones.