¿Es una biyección de $z=x^2+y^2$?

Question

Estoy aprendiendo básicos de la teoría de conjuntos y estaba haciendo un poco de ejercicios donde estamos para determinar si una relación es una función, una inyección, un surjection y si es un bijection.

La pregunta en este caso fue: Determinar si la relación de $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}$definido por $(x,y)Rz$ si y sólo si $z=x^2+y^2$ $(1)$ una función, $(2)$ una inyección, $(3)$ un surjection y $(4)$ un bijection.

$(1)$ es claramente cierto. $(2)$ No es una inyección como $(x,y)$ $(y,x)$ mapas para el mismo punto en $\mathbb{R}$. $(3)$ Tampoco es un surjection como $x^2+y^2\ge0, \forall x,y\in\mathbb{R}$. $(4)$ Esto me lleva a creer que no es por lo tanto un bijection. Sin embargo, las respuestas dice que es. Esto es extraño como el libro define un bijection a ser una función que es a la vez una inyección y un surjection. Claramente determinada relación no cumple cualquiera de estas condiciones puede ser un bijection.

Creo que las respuestas podrían tener algunos errores tipográficos, aunque ya lo que falta es la respuesta para el siguiente ejercicio (relación de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$donde $(a,b)R(x,y)$ si sólo si $y=a$$x=b$; lo que me pareció ser un bijection) y, por lo tanto se han mezclado la respuesta a este ejercicio con el anterior. Sin embargo, soy nuevo en la teoría de conjuntos y así se preguntaba si acabo de hacer un tonto error.

Answer 1

Recordemos las definiciones:

$F\colon A\to B$ es un bijection si dos cosas son ciertas:

1. Para cada $x,y\in A$ si $x\neq y$ $F(x)\neq F(y)$ (inyectividad); y
2. Para cada $b\in B$ hay algo de $a\in A$ tal que $F(a)=b$ (surjectivity).

Ahora podemos identificar esta en el problema, $A=\mathbb R^2$$B=\mathbb R$, e $F(\langle x,y\rangle)=x^2+y^2$.

1. Es esta $F$ inyectiva (hacer los pares ordenados $\langle a,b\rangle$ $\langle b,a\rangle$ tiene imágenes diferentes)?

2. Es esta $F$ surjective (puede que la suma de dos números negativos se $-1$)?

Incluso si sólo una de ellas es verdadera la definición de bijection ya no se sostiene, en nuestro caso - las dos son verdaderas.

Answer 2

Como usted ha dicho, una biyección es una inyección y un surjection, por lo tanto no puede ser, como han demostrado que ninguno de aquellos.