Estoy tratando de decidir si $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-1\right)^{n^2}$$ converges. By the alternating series test, as far as I can see, the series converges. This is also true by the root test. In both cases I assume that $$\left|\left(\frac{1}{n}-1\right)^{n^2}\right| = \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}$$ y yo no le veo nada de malo con eso. Lo que me hace seguro es que Wolfram Alpha dice que la suma no converge.
Wolfram Alpha utiliza la prueba de límite, que no soy capaz de completar: $$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}-1\right)^{n^2} = \lim_{n\to\infty} e^{n^2 \ln{\frac{1-n}{n}}}$$ El problema es el logaritmo de la cual no está definida para cualquier $n$, y yo no soy consciente de que otra forma de calcular ese límite.
Lo mismo ocurre con esta serie converge?
Edit: Cuando me pregunte Wolfram Alpha para evaluar la suma, se dice que el seires no convergen. Pero también dice que "cálculo" tiempo de espera agotado. Tal vez esta podría ser la razón de por qué está mal.
