Muestra que $n^2 \log\left (1+ \frac {1}{n} \right )$ no converge con $1$

Question

Cómo mostrar que $n^2 \log\left (1+ \dfrac {1}{n} \right ) \to 1$ es falso?

Tengo que mostrar que $ \left (1+ \dfrac {1}{n} \right )^{n^2}$ no tiende a $e.$

Answer 1

$$ \log\left (1+ \frac1n\right )=- \log\left (1- \frac1 {n+1} \right ) \geqslant\frac1 {n+1}$$

Answer 2

Por la desigualdad de Bernoulli

$$ \left (1+ \dfrac {1}{n} \right )^{n^2} > 1+n^2 \frac {1}{n}=1+n$$

Answer 3

$$ \log ( (1 + 1/n)^n ) \to \log (e) = 1$$ Así que

$$ n^2 \log ( 1 + 1/n) = n \log ((1 + 1/n)^n) \to \infty $$

Answer 4

Pista: Usar la serie de Taylor de $ \ln (1+x)$ en el punto $x=0$ y ver lo que obtienes. Aquí está la serie de Taylor

$$ \ln (1+x) = x-{ \frac {1}{2}}{x}^{2}+O \left ( {x}^{3} \right ) . $$

Creo que ahora está claro.

Añadido:

$$ \ln ( 1+ \frac {1}{n} )= \frac {1}{n}-{ \frac {1}{2}}{ \frac {1}{n^2}}+{ \frac {1}{2}}{ \frac {1}{n^2}}- \dots $$

$$ \implies n^2 \ln ( 1+ \frac {1}{n} )= {n}-{ \frac {1}{2}}{}+{ \frac {1}{3}}{ \frac {1}{n}}- \dots $$

$$ \implies \lim_ {n \to \infty } n^2 \ln ( 1+ \frac {1}{n} ) = \infty .$$

Answer 5

$$n^{2} \log \left ( 1+ \frac {1}{n} \right ) \sim n.$$