Deje $K\subset\mathbb{C}$ ser un campo de número. Hay un surjective mapa de $\phi:\mathbb{P}^1(K)\to Cl(K)$ desde el campo a la del grupo de clase, el envío de $[\alpha:\beta]$ a la clase de los ideales $(\alpha,\beta)$. Lo que hace de la fibra a través de un ideal de clase `parece"?
Estoy especialmente interesado en $K$ imaginario cuadrática y si hay o no hay círculos en cada una de las fibras. Por ejemplo, $\mathbb{Q}=\mathbb{R}\cap K$ está contenida en la fibra durante la clase principal.
¿Hay algún primaria observaciones relativas a $\phi$? O referencias? Gracias.
Aquí están algunas fotos de referencia, las dos clases en $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$
http://math.colorado.edu/~rohi1040/randomshare/sqrt5princlass.pdf
http://math.colorado.edu/~rohi1040/randomshare/sqrt5otherclass.pdf
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Como se observó en una de las siguientes respuestas, $SL_2(\mathcal{O}_K)$ actúa en $\mathbb{P}^1(K)$ fraccional lineal de las transformaciones y de las fibras de $\phi$ $SL_2(\mathcal{O}_K)$de las órbitas. Así, por ejemplo, $\phi^{-1}(1)\cong SL_2(\mathcal{O}_K)/Stab(\infty)$. Sin embargo, no creo que las fibras son isomorfos, y no sé cómo escoger los conjugacy clases de punto-estabilizadores (máxima primaria parabólico subgrupos de $SL_2(\mathcal{O}_K)$?).
