¿Hay algún ejemplo que: $X$ es una variedad proyectiva compleja lisa, segundo cohomología singular $H^2(X,\mathbb{Z})$ subgrupo de torsión no trivial?
Respuestas
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El teorema universal del coeficiente dice que $H^2(X;\Bbb Z) \cong \text{Hom}(H_2(X;\Bbb Z),\Bbb Z) \oplus \text{Ext}(H_1(X;\Bbb Z),\Bbb Z)$. Ya complejas variedades proyectivas son compacto y triangulable, $H_2(X)$ $H_1(X)$ finitamente generados, así $\text{Hom}(H_2(X);\Bbb Z),\Bbb Z)$ es libre de torsión, y $\text{Ext}(H_1(X;\Bbb Z),\Bbb Z)$ es el subgrupo de torsión de $H_1(X;\Bbb Z)$.
Por lo tanto, equivalente, su pregunta "Son lisa hay variedades proyectivas complejas con torsión en $H_1(X;\Bbb Z)$?" Y la respuesta es sí; tomar una superficie Enriques, por ejemplo, que tiene $\pi_1(E) = \Bbb Z/2$ porque tiene la superficie de #% % conectado simplemente #% como una doble cubierta.
JGilmartin
Puntos
1974
Feng, intente esto:
Considere la posibilidad de una superficie de $\Sigma$$\mathbb{P}^3$. Hay una acción de $\mu_p$ (raíces de la unidad) en $\mathbb{P}^3$ donde la coordenada $z_i$ es enviado a $\zeta^i z_i$ bajo la acción de $\zeta \in \mu_p$. Suponga $\Sigma$ es fijado por esta acción. A continuación,$H^2(\Sigma/\mu_p,\mathbb{Z})_{tors} = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. (Recordar que por el teorema de Lefschetz $\Sigma$ es simplemente conectado.) Por qué? Considere la posibilidad de un trivial carácter de $\mu_p$. Esto le da a usted el descenso de datos para descender el trivial de la línea de paquete en la $\Sigma$$\mathcal{L}$$\Sigma/\mu_p$. Esto le ha $p$-torsión de la clase de Chern $c_1(\mathcal{L})$$H^2$.
