Medida homogénea en la semilínea real positiva

Question

Definir una medida $\mu\not=0$ en un número real positivo $\Bbb R_{>0}$ tal que para cualquier conjunto medible $E\subset\Bbb R_{>0}$ y $a\in \Bbb R_{>0} $ tenemos $\mu(aE)= \mu(E)$ , donde $aE=[ax;x\in E]$ .

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Estoy totalmente en blanco sobre este problema. Lo he meditado varias veces pero no he conseguido ninguna idea. Este ejercicio ilustra la naturaleza abstracta y extraña de la medida de Lebesgue. Porque si suponemos que E es un subconjunto de los números reales o un intervalo cualquiera, está totalmente en desacuerdo con cumplir esta traslación.

Answer 1

Voy a responder con mayor generalidad.

Una forma común de construir una medida es tomar una función no negativa localmente integrable $w$ y definir $\mu(E)=\int_E w(x)\,dx$ . Esto no da todas las medidas (sólo las que son absolutamente continuas con respecto a $dx$ ) pero para muchos ejemplos es suficiente.

En términos de $w$ la condición deseada se traduce en $$\int_E w(x)\,dx = \int_{aE} w(x)\,dx\tag1$$ Una forma de entender (1) es llevar ambas integrales al mismo dominio de integración. Para ello, cambia la variable $x=ay$ en la segunda, de modo que se convierte en $\int_{E} a\,w(ay)\,dy$ . Que es lo mismo que $\int_{E} a\,w(ax)\,dx$ porque el nombre de la variable de integración no importa. Así, (1) toma la forma $$\int_E w(x)\,dx = \int_{E} a\, w(ax)\,dx \tag2$$
o, mejor aún, $$\int_E ( w(x)-a\, w(ax))\,dx \tag3$$
Para que (3) se cumpla para todo conjunto medible, el integrando debe ser cero en casi todas partes. Por tanto, necesitamos una función $w$ tal que $w(ax)=w(x)/a$ para todos $x$ . En particular, $w(a)=w(1)/a$ para todos $a$ que nos dice cuál es la función. (El valor de $w(1)$ puede ser cualquier número positivo).

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Lo anterior puede generalizarse para obtener medidas tales que $$\mu(aE) =a^p \mu(E)$$ para todos $a>0$ , donde $p$ puede ser cualquier número real fijo.