He buscado esto por un tiempo, pero no consigue nada...
Hay un montón de pruebas a la irracionalidad de $e$,$\pi$,$e^{\pi}$. Sin embargo, no puedo encontrar una prueba para $\pi^e$. Más, cuando la búsqueda de esta tengo una respuesta Desconocida en este sitio(en Chino), que dice:
目前为止， $\pi^e$ 是否有理还是一个谜。
Si $\pi^e$ es irracional o no es desconocido hasta el momento(2010).
Por lo tanto, sólo quiero saber si hay progresando estos años...
En la sexta edición de ' Introducción a la teoría de los números ' de Hardy y Wright (revisada por marrón del brezo y Silverman) publicado en 2008, en la sección 4.2 afirman que $\pi^e$ sigue siendo abierto. Otros números cuya irracionalidad no ha sido probada incluyen $2^e, \pi^{\sqrt{2}}, e+\pi$.
Así, a partir de 2008, esto no fue sin embargo resoled.
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