¿Por qué es negro BTZ agujero asintóticamente $AdS_3$?

Question

Es la métrica para el agujero negro BTZ

$ds^2=-N^2dt^2+N^{-2}dr^2+r^2(N^\phi dt +d\phi)^2$

donde $N^2=-M+\frac{r^2}{l^2}+\frac{J^2}{4r^2}$ y $N^\phi=-\frac{J}{2r^2}$.

A menudo se dice que BTZ calabozo es asintóticamente anuncios $_3$, pero si tomo $r\rightarrow \infty$ límite, entonces la métrica BTZ, a la orden principal de cada componente, se convierte en

$ds^2\rightarrow-\frac{r^2}{l^2}dt^2+\frac{l^2}{r^2}dr^2+r^2d\phi^2-Jdtd\phi,$

mientras que la métrica de $_3$ anuncios Lee, asintóticamente,

$ds^2_{AdS_3}\rightarrow-\frac{r^2}{l^2}dt^2+\frac{l^2}{r^2}dr^2+r^2d\phi^2.$

Mi pregunta es que desde el término de la diagonal $-Jdtd\phi$ no acercarse a cero en el infinito, ¿cómo puede uno afirmar que BTZ es asintóticamente anuncios $_3$?

Answer 1

Mientras que existen más definiciones matemáticas disponibles, una adecuada definición de trabajo de localmente asintóticamente $\textrm{AdS}_3$ es que la línea de un elemento en Gaussiana normal de las coordenadas de $\rho\to\infty$ debe tomar la forma \begin{equation} ds^2 = d\rho^2 + (\gamma_{ij}^{(0)} e^{2\rho} + {\rm subleading}_{ij}) dx^i dx^j \end{equation} donde $\gamma_{ij}^{(0)}$ es el 2-dimensiones de la métrica de Minkowski y "subleading" significa "no divergentes tan rápido como $e^{2\rho}$".

Usted puede fácilmente convencerse de que la BTZ agujero negro (y cualquier otro asintótica Anuncios de$_3$ de espacio-tiempo que podría haber encontrado) puede ser escrita en esta forma.

En 3 dimensiones de vacío de la gravedad de Einstein asintótico de las soluciones a las ecuaciones de movimiento implica que el subleading términos debe caer fuera como en el Brown-Henneaux las condiciones de contorno (BH bc) que se proporciona en Olof la respuesta.

Sin embargo, no es cierto que la BH bc son necesarios para asintóticamente $\textrm{AdS}_3$ comportamiento. Usted puede obtener de forma asintótica de la simetría de álgebra (ASA) dos copias de el álgebra de Virasoro, incluso para los más débiles condiciones de contorno. La cuestión de si o no a las condiciones de contorno son de utilidad depende de la teoría bajo consideración.

Permitidme que me a dado un ejemplo que conozco muy bien: En topológicamente masiva de la gravedad en un cierto punto crítico, uno debe permitir que logarítmica violaciones de la BH de bc con el fin de acomodar toda la normalizable espectro de linealizado fluctuaciones alrededor de $\textrm{AdS}_3$, y para evitar la eliminación de lo contrario válido soluciones clásicas. Ver http://arxiv.org/abs/arXiv:0808.2575en particular Eq. (8), que muestra las infracciones de la BH de bc en dos entradas de la métrica. Sin embargo, uno puede mostrar que uno tiene dos copias de el álgebra de Virasoro como el ASA, y que el asintótica cargos son finitos y conservado.

Muy general, una estrategia razonable para encontrar el "derecho" de las condiciones de contorno es debilitar a ellos tanto como sea posible, pero sin crear incoherencias, como infinito o no conservadas cargos. Esto puede ser a veces un poco de un arte y puede requerir la entrada física.

Answer 2

El BTZ agujero negro métrica tiene una curvatura constante, y por lo tanto el espacio es localmente isométrica a los Anuncios de$_3$. Por otra parte, el espacio global se puede escribir como el cociente del espacio de los Anuncios de$_3$ por un grupo discreto. Sin embargo, yo no veo una forma sencilla de ver esto de la coordinación en la pregunta.

Que el espacio es asintóticamente Anuncios de$_3$ significa que cumple con el Marrón-Henneaux las condiciones de contorno. Cambio de coordenadas a $\rho = e^r$. A continuación, el asintótica métrica en la cuestión toma la forma $$ ds^2 = l^2 d\rho^2 + e^{2\rho}\left(-\frac{1}{l^2} dt^2 + d\phi^2\right) - J\,dt\,d\phi $$ El general Fefferman - Graham expansión toma la forma $$ ds^2 = l^2 d\rho^2 + \left(e^{2\rho} \gamma^{(0)}_{ij} + \rho \gamma^{(1)}_{ij} + \gamma^{(2)}_{ij} + \dotsb \right) dx^i dx^j $$ pero para una métrica de la satisfacción de las Brown-Henneaux las condiciones de contorno de la $\gamma^{(1)}$ plazo se desvanece. Esto es suficiente para garantizar que el asintótica isometría el álgebra es la misma como en los Anuncios de$_3$, es decir, que de dos álgebras de Virasoro.