Mostrar si $|G| = 30$, entonces el $G$ tiene subgrupos de Sylow de 3 y 5 Sylow normales.

Question

Mostrar que si $|G| = 30$, $G$ normal $3$-Sylow y $5$-subgrupos de Sylow.

Deje $n_3$ denotar el número de 3-subgrupos de Sylow y $n_5$ el número de $5$-subgrupos de Sylow. Entonces, por el tercer teorema de Sylow, $n_3$ divide $10$$n_3 \equiv 1 \mod 3$. A partir de estos dos, vemos que $n_3 = 1$. Esto implica que $G$ tiene un normal 3-subgrupo de Sylow.

Igualmente, os $n_5$ denotar el número de $5$-subgrupos de Sylow. Entonces, por el tercer teorema de Sylow, $n_5$ divide $6$, e $n_5 \equiv 1 \mod 5$. Por lo tanto, podemos deducir que, o bien $n_5 = 1$ o $n_5 = 6$. No sé cómo continuar a partir de aquí. Por favor alguien puede ayudarme? (Esto no es la tarea, sólo el estudio de uno mismo)

Answer 1

Siendo fiel a su notación, $n_{5}=1$ o $6$, $n_{3}=1,10$. En primer lugar demostramos que una de las $5$ o $3$ subgrupo de sylow es normal. Suponga $n_{5}=6$, luego tenemos 6 subgrupos de orden $5$, que se cruzan trivialmente, entonces tenemos 24 elemets de orden $5$. Y si $n_{3}=10$, hay 20 elemts de orden $3$, $24+20>30$. Contradicción!. Así que uno de estos subgrupos es normal. Suponga $P_{5}$ es normal. Por lo $P_{5}P_{3}$ es un subgrupo de $G$ orden $15$ (por qué?), por lo tanto, del índice de $2$ por lo tanto normal en $G$. Ahora $P_{3} <P_{5}P_{3}$. Para todos $g \in G$, $gP_{3}g^{-1}<gP_{5}P_{3}g^{-1}=P_{5}P_{3}$, así que todas las $3$subgrupo de sylow en $G$ también $3$ subgrupos de sylow de $P_{5}P_{3}$. Ahora, el número de sylow $3$ subgrupos en $P_{5}P_{3}$$1$! Por lo $P_{3}$ es normal en $G$. Ahora si $P_{3}$ es normal en $G$, se puede utilizar de la misma manera para demostrar que $P_{5}$ es normal.

Answer 2

Este es el más delicado y difícil que la mayoría de los problemas acerca de los subgrupos de Sylow, y debe ser abordada por los relacionados con el 5-subgrupos de sylow y el 3-subgrupos de sylow. En general, un problema de teoría de grupos en el nivel de licenciatura es o va a ser extremadamente fácil, o que requieren de esta técnica.

Como estableció la $n_3 = 1$ es una posibilidad, pero se señaló en los comentarios que $n_3 = 10$ también es posible. Supongamos $n_5 = 6$, de modo que el $5$-sylows no son normales. Entonces ellos deben ser sus propios normalizadores debido a que el número de ellos es igual al índice de la normalizador de cualquiera, y ellos son los únicos subgrupos de orden $5$. Sin embargo, el hecho de que sólo $5$ divide $30$ e no $25$ nos permite saber que todos los elementos de orden $5$ en este grupo se encuentran en un $5$-sylow, y que estos sylows han trivial intersección. Pero eso significa que hay un $(5-1)*6 = 24$ elementos de orden $5$ en este grupo. Pero esto significa que no puede ser, posiblemente, $10$ subgrupos de orden $3$, de otra manera no serían $20$ elementos de orden $3$ y que daría $47$ elementos en el grupo que sería absurdo.

Así que sabemos que el $3$-sylows tendría que ser normal en esta situación. Entonces tenemos que si $H_3$ $3$- sylow y $H_5$ $5$- sylow, a continuación, $H_5H_3$ es un subgrupo porque $H_3$ es normal. Pero, a continuación, $H_5H_3/H_3 \cong H_5/(H_5 \cap H_3)$ y contando órdenes sabemos que $H_5H_3$ orden $15$. Pero hay un grupo único de la orden de $15$ (hay muchas formas de mostrar esto, pero en nuestro caso en particular el hecho de que $H_5H_3 \cong \mathbb{Z}_{15}$ viene por el hecho de que $H_5$ es normal por un sylow argumento en este subgrupo) y por lo tanto este grupo abelian y esto contradice que $H_5$ es su propia normalizador. Por lo tanto $H_5$ es normal.

Finalmente, ahora podemos contar de nuevo. Desde $H_5$ es normal que podemos tomar cualquiera de estos $H_3$ y hacer el mismo argumento como el de arriba para darse cuenta de que $H_3$ tiene un normalizador de la orden, al menos, $15$ e lo $H_3$ debe ser normal porque se supone que han normalizador o índice de $1$ o $10$.

Espero que esto ayude.