Es $\sin^2\theta + \cos\theta = 2$ ¿Se puede resolver sin líos?

Question

Me dan el problema $\sin^2\theta + \cos\theta = 2$ y me dicen que use la identidad pitagórica $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ para resolverlo.

Acabo con $\cos^2\theta - \cos\theta + 1 = 0$ , pero sé que eso no va a factor y resolver muy bien.

¿He hecho algo mal, o la respuesta va a acabar siendo muy fea?

Answer 1

La ecuación no tiene soluciones reales.

Por cada $\theta\in\mathbb R$ tenemos $\sin^2\theta\in[0,1]$ y $\cos\theta\in[-1,1]$ . Esto significa que $\sin^2\theta+\cos\theta=2$ sólo es posible si $\sin^2\theta=1$ y $\cos\theta=1$ . Pero si $\sin^2\theta=1$ tenemos inmediatamente $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=0$ Así que $\cos\theta$ tendría que ser igual a $0$ . T

Answer 2

Casi allí. Resolver la ecuación cuadrática y reciba $\cos\theta={1\pm \imath\sqrt{3}\over 2}$. Tomar el $\pm\cos^{-1}({1\pm \imath\sqrt{3}\over 2})$ para obtener la respuesta. (Es $\pm$ desde ambos $\cos$ y $\sin^2$ son incluso funciones.) Usted puede ver cómo hacer complejo $\cos^{-1}$ y $\log$ (usted verá por qué necesita $\log$).

Answer 3

Tenemos $|\sin[x]|\le 1$ Así pues $|\sin[x]|^{2}\le 1$ . Su ecuación implicaría tanto $\sin[x]$ y $\cos[x]$ tiene valor absoluto 1, lo que no se cumple ya que entonces $\sin[2x]=2\sin[x]\cos[x]=\pm2$ . Puede que hayas copiado la fórmula equivocada, etc.