Constante de iteraciones condicionales.

Question

Que $f(0)=2.$ definir enteros positivos $n$:

$f(n+1) = \frac{3}{2} f(n)$Si es $f(n)$ %.

$f(n+1) = \frac{3}{2}(f(n)+1)$ Si $f(n)$ es impar.

Ahora tenemos $\lim_{n->\infty} \dfrac{4* (3/2)^{n} }{f(n)} = C$

Donde $C$ es algo constante.

¿Parecer $C$ ~ $\sqrt[11] {10}$ pero supongo que el $C$ no puede ser exactamente ese valor?

¿Cuál es la forma cerrada para $C$?

Answer 1

Yo no pude encontrar la forma cerrada, pero tiene razón en que $C\ne10^{1/11}$.

Si $f(n)$ es incluso $$ \frac{f(n+1)}{f(n)}=\frac32\etiqueta{1} $$ Si $f(n)$ es impar $$ \frac{f(n+1)}{f(n)}=\frac32\left(1+\frac1{f(n)}\right)\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, $$ \frac{f(n)}{f(0)}=\left(\frac32\right)^n\prod_{\substack{k=0\\f(k)\text{ es impar}}}^{n-1}\left(1+\frac1{f(k)}\right)\etiqueta{3} $$ Desde $f(n)\ge\left(\frac32\right)^n$, el producto en $(3)$ converge.

Por lo tanto, $$ \begin{align} C &=\lim_{n\to\infty}\frac4{f(n)}\left(\frac32\right)^n\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac4{f(0)}\left[\prod_{\substack{k=0\\f(k)\text{ is odd}}}^{n-1}\left(1+\frac1{f(k)}\right)\right]^{-1}\\ &=2\left[\prod_{\substack{k=0\\f(k)\text{ is odd}}}^\infty\left(1+\frac1{f(k)}\right)\right]^{-1}\tag{4} \end{align} $$ Computación $C$$n=120$$(4)$, me sale $$ C=1.2328400204796570012\etiqueta{5} $$ que es exacta a $20$ lugares. El ISC no encuentra nada para este número.

Tenga en cuenta que $$ 10^{1/11}=1.2328467394420661391\etiqueta{6} $$