Métrica sobre Steifel y variedades grassmannianas generalizando el estudio de Fubini

Question

Si $F$ es $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ o $ \mathbb{H}$ la variedad grassmanniana $G_k(\textbf F^n)$ es el espacio de todos los $k$ subespacios dimensionales del $n$ espacio vectorial dimensional $F^n$ . El colector de Stiefel $V_k(\textbf F^n)$ es el conjunto de $k$ -tuplas que representan $k$ vectores ortonormales en $F^n$ . En otras palabras $$ V_k(\textbf F^n) = \{A\in\text{Mat}_{n\times k}(\textbf F^n)|A^\ast A = I_{k\times k}\}.$$

Existe una proyección natural $V_k(\textbf F^n)\longrightarrow G_k(\textbf F^n)$ enviando un $k$ -a la $k$ -que abarca. La fibra de esta proyección sobre cada punto es todo $k$ -tuplas que viven en un $k$ -subespacio dimensional de $\textbf F^n$ que puede considerarse $V_k(\textbf F^k) = O(k,\textbf F)$ .

Entonces tenemos las fibraciones $$ O(k,\textbf F)\rightarrow V_k(\textbf F^n)\longrightarrow G_k(\textbf F^n).$$

En $k=1$ se reducen a las fibraciones de Hopf \begin{eqnarray*}S^0&\rightarrow& S^{n-1}\longrightarrow \mathbb{R}P^{n-1}\\ S^1&\rightarrow& S^{2n-1}\longrightarrow \mathbb{C}P^{n-1}\\ S^3&\rightarrow& S^{4n-1}\longrightarrow \mathbb{H}P^{n-1}\end{eqnarray*}

Si cada una de las esferas $S^{n-1}, S^{2n-1},$ y $S^{4n-1}$ reciben la métrica redonda, existen métricas "naturales" sobre $\mathbb{R}P^{n}, \mathbb{C}P^{n},$ y $\mathbb{H}P^{n}$ , respectivamente, definidas como las métricas que hacen de estas sumersiones sumersiones riemannianas. Cuando $\textbf{F} = \mathbb{R}$ es la métrica de curvatura constante 1 en $\mathbb{R}P^n$ y cuando $\textbf F=\mathbb{C}$ es la métrica de Fubini-Study en $\textbf{C}P^n$ .

Pregunta: ¿Existen métricas "naturales" sobre $V_k(\textbf{F}^n)$ que dan generalización de esto? Es decir, ¿existe una generalización de la métrica del estudio de Fubini a $G_k(\textbf{F}^n)$ . En caso afirmativo, ¿dónde puedo encontrar más información sobre estas métricas? Si no es así, ¿por qué no funciona?

Answer 1

No es necesario proceder a través de los Stiefel-Manifolds. Se pueden realizar directamente los grassmanianos como espacios homogéneos. En el caso real, esto toma la forma $G(k,n)=SO(n)/S(O(k)\times O(n-k))$ . Esto corresponde a la llamada descomposición simétrica del álgebra de Lie $\mathfrak{so}(n)$ por lo que $G(k,n)$ en un espacio simétrico compacto. (La métrica riemanniana se induce a partir de la restricción de la forma de Killing de $\mathfrak{so}(n)$ al ortocomplemento de $\mathfrak{o}(k)\times\mathfrak{o}(n-k)$ ). La métrica resultante es relativamente sencilla, pero no tiene curvatura constante. Se sabe mucho sobre estos espacios; "espacios simétricos riemannianos" es la palabra clave adecuada para empezar a buscar. La imagen para los campos complejos y cuaterniónicos es bastante similar, sólo hay que sustituir $SO$ por $SU$ respectivamente $Sp$ (grupo cuaterniónico unitario).

Answer 2

Es un hecho estándar que el espacio de grassmanianos reales $G(k,n)$ es homeomorfa a todas las proyecciones en $M_{n}(\mathbb{R})$ con rastro $k$ (Una proyección es una matriz con $A=A^{tr}=A^{2}$ . El producto interior de $M_{n}(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^{n^{2}}$ es $trace(AB^{tr})$

Este producto interno es invariante bajo la acción de $O(n)$ . Así que en realidad O(n) está actuando sobre G(k,n) isométrica y transitivamente. La acción es transitiva ya que cada dos proyecciones con el mismo rango son equivalentes unitarias, un hecho estándar en álgebra lineal. También se menciona en "k theory and C* algebra, A freilndly approach" de Wegg Olsen. esto implicaría que la métrica tiene curvatura constante.