Sistema de dos ecuaciones cúbicas: $x+y^2 = y^3$, $y+x^2=x^3$

Question

Me quedé pegado en este sistema de ecuaciones. ¿Podría ayudar y decirme cómo debo enfocar este problema?

\begin{align*} x+y^2 &= y^3\\ y+x^2 &= x^3 \end{align*}

Estas son las soluciones:\begin{align*} (0, 0); \\((1+\sqrt{5})/2, (1+\sqrt{5})/2); \\((1-\sqrt{5})/2, (1-\sqrt{5})/2); \end{align*}

Answer 1

Aquí está tu ecuaciones:

$x+y^2 = y^3$

$y+x^2 = x^3$

Yo podría sustituir $x=y^3-y^2$ y conseguir un grado 9 ecuación en $y$, pero voy a intentar algo más.

Mirando estos, Me doy cuenta de que si me reste de ellos, Puedo conseguir algo en el que todo es divisible por $x-y$.

Restando la segunda de la primera, Puedo conseguir

$(x-y)+(y^2-x^2) =y^3-x^3 $

o $(x-y)+(y-x)(y+x) =(y-x)(y^2+xy+x^2) $.

Si $y \ne x$, dividiendo por $y-x$ da $-1+(y+x) =y^2+xy+x^2 $ o $0 =y^2+y(x-1)+x^2-x+1 $.

La solución de este,

$\begin{array}\\ y &=\dfrac{-(x+1)\pm \sqrt{(x-1)^2-4(x^2-x+1)}}{2}\\ &=\dfrac{-(x+1)\pm \sqrt{x^2-2x+1-4x^2+4x-4}}{2}\\ &=\dfrac{-(x+1)\pm \sqrt{-3x^2+2x-3}}{2}\\ &=\dfrac{-(x+1)\pm \sqrt{-2x^2-x^2+2x-1-2}}{2}\\ &=\dfrac{-(x+1)\pm \sqrt{-2x^2-(x-1)^2-2}}{2}\\ \end{array} $

Desde el discriminante es negativo, no existen valores de $y$.

Por lo tanto, la única solución real es $x=y$.

Answer 2

Observe que $x=0 \implies y=0$, por lo tanto $(0,0)$ es una solución trivial. Vamos a considerar el caso en que $x \neq 0$.

$$x=y^2(y-1)$$ $$y=x^2(x-1)$$

Supongamos por el contrario que $x=1$, luego de la segunda ecuación de $y=0$, lo que contradice la primera ecuación de $x=0$. Por lo tanto $x \neq 1$.

Supongamos por el contrario que $x \in (0,1)$,

$$y=x^2(x-1) \in (-1,0)$$

y, por tanto, $$x=y^2(y-1)<0$$

lo cual es una contradicción. Por lo tanto $x \notin (0,1).$ Por simetría, $y \notin (0,1)$.

También, observe si $x>1$,$y=x^2(x-1)>0$, y, por tanto,$y>1$.

y si $x<0$$y=x^2(x-1)<0$.

$$x=y^2(y-1)$$

$$x^2(x-1)=y$$

Multiplicar los dos ecuaciones, tenemos

$$x^3(x-1)=y^3(y-1)$$

Considere la función, $$f: (1,\infty) \rightarrow (0,\infty),\text{ where }f(t)= t^3(t-1).$$

Podemos ver fácilmente que esta función es creciente y es una función inyectiva.

Por lo tanto, si $x>1$, $f(x)=f(y)$ y, por tanto,$x=y$.

Del mismo modo, podemos considerar la función, $$g: (-\infty,0) \rightarrow (0,\infty),\text{ where }g(t)= t^3(t-1).$$

Podemos ver fácilmente que esta función es decreciente y es una función inyectiva.

Por lo tanto, si $x<0$, $g(x)=g(y)$ y, por tanto,$x=y$.

Por lo tanto, siempre tenemos $x=y$.

$$x+x^2=x^3$$

$$x(1-x-x^2)=0$$

$x=0$ o $1-x-x^2=0$

Answer 3

Desde $y=x^3-x^2$, tenemos #% de %#% o $x+(x^3-x^2)^2=(x^3-x^2)^3$ $ y desde $$x(x^2-x-1)(x^6-2x^5+2x^4-2x^3+2x^2-x+1)=0$,

obtenemos su respuesta.

Answer 4

Aquí es un enfoque de los sistemas dinámicos, asumiendo que sólo buscan soluciones reales. Considerar el mapa: $$f(x)=x^3-x^2=x^2(x-1)$$ La solución de $f(x)=y$ $f(y)=x$ es equivalente a la solución de $f(f(x))=x$. Queremos demostrar que una solución de este último (en una órbita periódica de periodo 2) es necesariamente un punto fijo, es decir, $f(x)=x$ que es trivialmente solucionable.

Así que supongamos que $x=f(y), y=f(x)$. Podemos suponer que la $x\leq y$.

Ahora $f$ es estrictamente monótona creciente en $[1,+\infty)$ así que si $1\leq x\leq y$ $y=f(x)\leq x=f(y)$ lo que implica $x=y$.

Del mismo modo, como $f$ es estrictamente monótona en $(-\infty,0]$ $x\leq y\leq 0$ implica $x=y$.

Finalmente, $f$ mapas de $(-\infty,1]$ a $(-\infty,0]$ $x\in (0,1]$ implica $x=f(f(x))\leq 0$ (contradicción). Llegamos a la conclusión de que $x=y$ como quería.

Comentario: Esporádicamente, el mismo argumento muestra que cualquier real de la órbita de período de $p$ debe ser también un punto fijo. Así por ejemplo, la $x+y^2=y^3$, $y+z^2=z^3$, $z+x^2=x^3$ tiene el mismo (real) de las soluciones.

Answer 5

El conjunto solución de la segunda ecuación de la parábola cúbica $$\gamma:\quad y=x^3-x^2$$ que intersecta la línea de simetría $y=x$ en los tres puntos $$\left({1-\sqrt{5}\over2},{1-\sqrt{5}\over2}\right),\quad(0,0),\quad\left({1+\sqrt{5}\over2},{1+\sqrt{5}\over2}\right)\ .\tag{1}$$ De lo contrario, $\gamma$ se encuentra en el interior de las cuatro regiones sombreadas de la figura siguiente (tenga en cuenta que para $x>0$ ha $x^3-x^2+x=x(x^2-x+1)>x(x-1)^2>0$, por lo tanto $x^3-x^2>-x$):

El conjunto solución de la primera ecuación es la curva de $\hat\gamma$ obtenido por reflejando $\gamma$ en la línea de simetría $y=x$. Contiene los tres puntos de $(1)$ y que es un subconjunto del reflejo de las regiones sombreadas. Ya que este último es disjunta de las regiones originales de ello se sigue que la intersección $\gamma\cap\hat\gamma$ está dado por $(1)$.