Al leer acerca de la topología general, me puse a buscar en la métrica de la topología. En un punto, en el interior de un espacio topológico $X$ se define como tal:
$${E}^{\circ}=\{p\in E\ | \ B_p(\epsilon)\subseteq E, \epsilon>0\}$$
Aquí, $B_p(\epsilon)$ es una bola con centro de $p$ y radio de $\epsilon$. Traté de verificar que este se reunió con el general de las propiedades de un interior, y no tiene mucho problema mostrando ${E}^{\circ}\subseteq E$, $(E\cap F)^{\circ}={E}^{\circ}\cap {F}^{\circ}$, y ${X}^{\circ}=X$. Sin embargo, no veo cómo ${{E}^{\circ}}^{\circ}={E}^{\circ}$. Veo que ${{E}^{\circ}}^{\circ}\subseteq {E}^{\circ}$, pero intentado, sin éxito, para ver la otra contención. Hay una razón por qué esto sigue simplemente a partir de los axiomas de lo que una métrica es?
Además, al parecer, otra manera de acercarse a esta topología es definir la familia de abrir conjuntos de $\mathcal{T}$ como aquellos que son la unión de una familia de bolas. De nuevo, traté de verificar por mí mismo. Veo que para cualquier $\mathcal{U}\subseteq\mathcal{T}$, $\cup\mathcal{U}$ es la unión de los conjuntos que cada uno puede ser representado como la unión de una familia de bolas, por lo que el conjunto de la unión, de nuevo, puede ser representado como la unión de una familia de bolas, es decir, aquellos que en cada conjunto en $\mathcal{U}$. También, $X$ puede ser representado como la unión de bolas donde puedo tomar una bola con centro de $p$ todos los $p\in X$. Finalmente, $\emptyset$ es sólo un vacío de la unión de las bolas. Sin embargo, yo era incapaz de demostrar que para un finito $\mathcal{U}\subseteq\mathcal{T}$, $\cap\mathcal{U}$ se vuelve a abrir. ¿Hay alguna forma de ver que la intersección finita puede ser representado como una unión de las bolas de las propiedades de la métrica?
