Que $X$ ser un espacio topológico y cualquier colección de conjuntos abiertos de $\{U_\alpha: \alpha \in \omega_1\}$ $X$.
La condición es esta: si $\bigcap U_\alpha\not= \emptyset$, entonces el $\bigcap U_\alpha$ es cerrado.
¿Esta condición en una incontable colección de conjuntos abiertos tiene un nombre?
¿Si pido más, qué propiedad topológica podría implicar esta condición?
Muchas gracias.
La declaración de el resultado y la prueba de ello han sido corregidos (espero).
Teorema. Si $X$ $T_1$ espacio con esta propiedad, entonces cualquiera de las $X$ no tiene ningún subconjunto infinito que es la intersección de a $\omega_1$ distintos bloques abiertos, o $X$ es tiene la topología discreta. En particular, $X$ es discreta si $|X|\ge\omega_1$.
Prueba. Deje $X$ $T_1$ espacio con esta propiedad. Supongamos que $\mathscr{U}=\{U_\xi:\xi<\omega_1\}$ es una familia de distintas abrir conjuntos con infinitos intersección $A$. Deje $F$ ser cualquier subconjunto finito de $A$; a continuación, $U_\xi\setminus F$ está abierto para todas las $\xi<\omega_1$, lo $A\setminus F=\bigcap_{\xi<\omega_1}(U_\xi\setminus F)$ es cerrado. Por lo tanto, $F$ es abierto en la topología relativa en $A$, que por lo tanto debe ser discreto.
Ahora vamos a $W=X\setminus A$. Deje $\{A_\xi:\xi<\omega_1\}$ ser una familia de subgrupos distintos de $A$ con intersección vacía, para $\xi<\omega_1$ deje $V_\xi=A_\xi\cup W$, y vamos a $\mathscr{V}=\{V_\xi:\xi<\omega_1\}$; $\mathscr{V}$ es una familia de $\omega_1$ distintos bloques abiertos, por lo $W=\bigcap\mathscr{V}$ es cerrado, y $A$ $W$ son clopen en $X$.
Por último, vamos a $U$ ser cualquier subconjunto abierto de $W$. El argumento del párrafo anterior se puede aplicar a $\{A_\xi\cup U:\xi<\omega_1\}$ que $U$ es cerrado en $X$. Por lo tanto, cada subconjunto abierto de $W$ es clopen, $W$ tiene la topología discreta, y, por tanto, así ha $X$. $\dashv$
Un countably conjunto infinito con el cofinite topología es un ejemplo de un no-discretas $T_1$ espacio con la propiedad.
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