Una secuencia de medidas singular convergencia débil * a una medida continua

Question

¿Cualquier persona puede proporcionar que una secuencia de singular (w.r.t. medida de Lebesgue) medidas convergentes $\in\mathcal{M}([0,1])=C[0,1]^*$ a una absolutamente continua (w.r.t. medida de Lebesgue) medida de $weakly^*$?

Answer 1

ps

Answer 2

Si $(x_n)$ es una secuencia de puntos en $[0,1]$, $x_n$ es equidistributed con respecto a la medida continua $f(x)dx$ (donde $dx$ denota la medida de Lebesgue) precisamente si la secuencia de singular medidas de $\dfrac{1}{n} \sum_n \delta(x-x_n)$ $[0,1]$ converge en la débil-$*$ topología de la medida $f(x)dx$.

Por ejemplo, si $(x_n)$ es la secuencia de las $(\alpha n \bmod 1)$ para un número irracional $\alpha$ $(x_n)$ es equidistributed con respecto a Lebesque medida $dx$.