Por qué está cerrado espectro aproximado del operador

Question

Que $A$ sea un operador lineal en el espacio de Hilbert $H$. Decimos que $\lambda \in \mathbb{C}$ es en espectro aproximado del $A$ iff existe una secuencia $(x_n)$ de vectores tales que $\|x_n\|=1$ y $\|Ax_n-\lambda x_n\|\rightarrow 0$. Equivalente, $\lambda$ es en espectro aproximado del $A$ foro para cada $\varepsilon >0$ allí existe $x \neq 0$ tal que $\|Ax-\lambda x\| \leq \varepsilon \|x\|$.

¿Cómo probar ese espectro aproximado es un subconjunto cerrado de $\mathbb{C}$?

Gracias.

Answer 1

Que $\lambda$ que no está en el espectro aproximado. Podemos encontrar un entero positivo $n$ tales que para todos los $x$: $\lVert Ax-\lambda x\rVert\geq n^{-1}\lVert x\rVert$. $\lambda_1\in\mathbb C$ Tal que $|\lambda_1-\lambda|<n^{-1}$ tenemos % $ $$\lVert Ax-\lambda_1 x\rVert=\lVert Ax-(\lambda_1-\lambda) x-\lambda x\rVert\geq \lVert Ax-\lambda x\rVert-|\lambda_1-\lambda|\lVert x\rVert\geq (n^{-1}-|\lambda_1-\lambda|)\lVert x\rVert$$\lambda_1$no es en el espectro aproximado. Esto muestra que el espectro aproximado tiene un complemento abierto, por lo tanto es cerrado.