Se llama "toro" a esa forma geométrica que "parece" un donut. Con frecuencia, uno se encuentra con la afirmación de que $S^1 \times S^1$ es un "toroide" donde $S^1$ es el círculo unitario. Ahora, si pienso en esto, puedo entender la justificación para llamar a esto un toro, pero estoy tratando de entender cómo uno iría a demostrar esto realmente. De hecho, existen descripciones analíticas del toro como este proporcionada por Wikipedia. Así que uno podría teóricamente, con suficiente inspiración, encontrar un homemorfismo $h: S^1 \times S^1 \rightarrow G(T)$ donde $G(T)$ denota el gráfico del toro como se realiza en la descripción analítica. Este enfoque, suponiendo que funcione, utiliza coordenadas y en cualquier caso no sería muy esclarecedor.
Entonces, mi pregunta es, ¿hay una forma libre de coordenadas para probar que $S^1 \times S^1$ ¿es homeomorfo a esta cosa que llamamos donut?
Mis pensamientos sobre esto son: Creo que la clave está en cómo se define un toroide. Estoy familiarizado con la construcción de un toro mediante la identificación de los lados opuestos de un rectángulo y esto parece una definición bastante natural. Es intuitivamente claro que si el rectángulo se configura como $$ \begin{align*} A---- & B \\ |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&| \\ C---- & D \end{align*} $$ entonces se puede mapear un círculo homeomórficamente sobre la identificación de AB y CD y luego el otro círculo sobre la identificación de AC y BD. Sin embargo, este no es un argumento muy preciso y me parece que hacerlo preciso implicaría eventualmente coordenadas. ¿Estoy en el camino correcto con este enfoque o hay una mejor manera de ver el problema?
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En un sentido muy informal (por eso hago de esto un comentario, no una respuesta), creo que gran parte de la dificultad proviene del hecho de que, mientras el toroide puede estar incrustado en $\mathbb R^3$ su "hábitat natural" es realmente $\mathbb R^4$ . En particular, la incrustación canónica de $S^1$ en $\mathbb R^2$ induce una incrustación natural de $S^1\times S^1$ en $\mathbb R^4$ el "toro plano". Cualquier proyección del toro hacia abajo en 3 dimensiones implica necesariamente alguna ruptura de simetría, lo que complica la descripción de la superficie resultante.
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Demostrando que la parametrización de wikipedia del toro es una parametrización por $S^1\times S^1$ no requiere mucho trabajo: La parametrización $x(u,v)=(R+r\cos(v))\cos(u), y(u,v)=(R+r\cos(v))\sin(u), $ y $z(u,v)=r\sin(v)$ es $2\pi$ periódico en ambos $u$ y $v$ . Desde $S^1$ puede ser visto como $\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ La identificación es la siguiente.