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¿Por qué es $S^1 \times S^1$ ¿un Torus?

Se llama "toro" a esa forma geométrica que "parece" un donut. Con frecuencia, uno se encuentra con la afirmación de que $S^1 \times S^1$ es un "toroide" donde $S^1$ es el círculo unitario. Ahora, si pienso en esto, puedo entender la justificación para llamar a esto un toro, pero estoy tratando de entender cómo uno iría a demostrar esto realmente. De hecho, existen descripciones analíticas del toro como este proporcionada por Wikipedia. Así que uno podría teóricamente, con suficiente inspiración, encontrar un homemorfismo $h: S^1 \times S^1 \rightarrow G(T)$ donde $G(T)$ denota el gráfico del toro como se realiza en la descripción analítica. Este enfoque, suponiendo que funcione, utiliza coordenadas y en cualquier caso no sería muy esclarecedor.

Entonces, mi pregunta es, ¿hay una forma libre de coordenadas para probar que $S^1 \times S^1$ ¿es homeomorfo a esta cosa que llamamos donut?

Mis pensamientos sobre esto son: Creo que la clave está en cómo se define un toroide. Estoy familiarizado con la construcción de un toro mediante la identificación de los lados opuestos de un rectángulo y esto parece una definición bastante natural. Es intuitivamente claro que si el rectángulo se configura como $$ \begin{align*} A---- & B \\ |\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&| \\ C---- & D \end{align*} $$ entonces se puede mapear un círculo homeomórficamente sobre la identificación de AB y CD y luego el otro círculo sobre la identificación de AC y BD. Sin embargo, este no es un argumento muy preciso y me parece que hacerlo preciso implicaría eventualmente coordenadas. ¿Estoy en el camino correcto con este enfoque o hay una mejor manera de ver el problema?

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En un sentido muy informal (por eso hago de esto un comentario, no una respuesta), creo que gran parte de la dificultad proviene del hecho de que, mientras el toroide puede estar incrustado en $\mathbb R^3$ su "hábitat natural" es realmente $\mathbb R^4$ . En particular, la incrustación canónica de $S^1$ en $\mathbb R^2$ induce una incrustación natural de $S^1\times S^1$ en $\mathbb R^4$ el "toro plano". Cualquier proyección del toro hacia abajo en 3 dimensiones implica necesariamente alguna ruptura de simetría, lo que complica la descripción de la superficie resultante.

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Demostrando que la parametrización de wikipedia del toro es una parametrización por $S^1\times S^1$ no requiere mucho trabajo: La parametrización $x(u,v)=(R+r\cos(v))\cos(u), y(u,v)=(R+r\cos(v))\sin(u), $ y $z(u,v)=r\sin(v)$ es $2\pi$ periódico en ambos $u$ y $v$ . Desde $S^1$ puede ser visto como $\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ La identificación es la siguiente.

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sewo Puntos 58

Creo que estás pensando en ello de forma correcta, pero también estás tratando de tener tu pastel y comerlo aquí. Si quieres un argumento completamente riguroso, no puedes evitar tener una descripción rigurosa de la forma 3d a la que intentas demostrar que es homeomórfica $S^1\times S^1$ en primer lugar. Pero eso significa, en particular, que se necesita una forma de hablar bien definida sobre determinados puntos en el toroide geométrico, ¿y cómo lo harías si no es por coordenadas?

De hecho, no hace falta tanta inspiración para encontrar un homeomorfismo concreto basado en coordenadas. Definamos $S^1$ como el conjunto $\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}\subset \mathbb R^2$ con la topología del subespacio. Entonces, $$h((x,y),(z,w)) = z(0,0,1)+(w+2)(x,y,0)$$ es su homeomorfismo deseado, en el conjunto $$\{(x,y,z)\mid z^2 + \Bigl(2-\sqrt{x^2+y^2}\Bigr)^2 = 1\}\subset \mathbb R^3$$ que hay que reconocer como nuestro toro geométrico.

Calificar esto de "poco esclarecedor" sería justo si se tratara de una manipulación algebraica puramente formal o de recetas de computación de caja negra, pero en realidad tiene un claro significado geométrico. Se podría decir, en cambio:

Para cada $(x,y)$ dibujamos el $(z,w)$ círculo en un plano vertical que pasa por el origen y está orientado de tal manera que pasa por $(x,y)$ con el centro de la $(z,w)$ círculo que se compensa con $2$ unidades en la dirección de $(x,y)$ .

Sin embargo, una descripción verbal de este tipo corre el riesgo de volverse compleja y difícil de entender, y es demasiado fácil que el escritor introduzca ambigüedades en las que sólo se puede entender si el lector ya comprende a qué construcción se refiere. Las fórmulas de coordenadas, en cambio, no son ambiguas, y con un poco de práctica se puede ver la construcción geométrica directamente en ellas.

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IAPS Puntos 1

Bien, una forma que puede resultar fructífera es considerar $S^1$ como $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ . Entonces, si identificamos el modelo "cuadrado con lados identificados" con $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ queremos demostrar que $\mathbb{R}/\mathbb{Z}×\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ que me parece mucho más natural ya que no tenemos que tratar los límites como "casos especiales" cuando definimos el homeomorfismo.

Salud,

Rofler

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Lissome Puntos 31

Si te gusta pensar en el toro como el rectángulo $[a,b]\times [c,d]$ con los lados opuestos identificados, luego piensa qué sucede cuando identificas los lados opuestos.

Cuando identifique $[a,b]\times \{ c \}$ con $[a,b] \times \{ d \}$ cada segmento "vertical" $\{ x \} \times [c,d]$ se convierte en un círculo $\{ x \} \times S^1$ .

Así, se obtiene el cilindro $[a,b] \times S^1$ .

Ahora, identifica los extremos $a \times S^1$ con $b \times S^1$ Cada segmento "horisontal" $[a,b] \times y$ se convierte en un círculo, $S^1 \times y$ , donde $y$ es un punto en $S^1$ . De esta manera se obtiene $S^1 \times S^1$ .

P.D. Esto también se puede ver fácilmente con un argumento de corte. Si se corta $S^1$ en un punto se obtiene un intervalo. Así que corta $S^1 \times S^1$ dos veces, primero en $\{a \} \times S^1$ para conseguir $[a,b] \times S^1$ y córtalo de nuevo. Ahora pégalo al revés y tendrás la definición del toroide.

2voto

wanderer Puntos 13

Vaya, ha pasado mucho tiempo desde el último post.

Bueno, hay una buena manera de demostrar que es un homeomorfismo; se da en el libro "Basic Topology" de M.A. Armstrong. (Pg 67 ~ 68)

Voy a dar un bosquejo : Tome $X = I \times I$ donde $I = [0,1]$ y la partición $X$ en:

1) El conjunto {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)} (cuatro puntos de esquina)

2) Conjuntos formados por pares de puntos $(x, 0), (x, 1), x \in I$

3) Conjuntos formados por pares de puntos $(0, y), (1, y), y \in I$

4) Conjuntos formados por un solo punto $(x, y)$ donde $x, y \in I$

Entonces el espacio de identificación resultante es el toroide. Si se piensa en $S^1$ como dentro del plano complejo, definir un mapa $f : S^1 \times S^1 \rightarrow I \times I$ por \begin {align*} (x,y) \mapsto (e^{2 \pi ix}, e^{2 \pi iy}) \end {align*}

Ahora mira $f^{-1}(z)$ para $z \in S^1 \times S^1$ . Se dividen $I \times I$ - y son los conjuntos mencionados anteriormente.

$\Rightarrow f$ es un mapa de identificación. (Si $f : X\rightarrow Y$ es un mapa suryectivo (continuo), $X$ es compacto y $Y$ es Hausdorff, entonces $f$ es un mapa de identificación)

Por lo tanto, los dos son homeomórficos.

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