Un integral desafiante $ \int_0 ^{ \frac { \pi }{2}} \log \left ( x^2+ \log ^2( \cos x) \right )dx$

Question

Me encontré con una extraña integral con un resultado extraño.

$$ \int_0 ^{ \frac { \pi }{2}} \log \left ( x^2+ \log ^2( \cos x) \right )dx = \pi \log \left ( \log (2) \right )$$

Lo creas o no, el resultado concuerda numéricamente.

¿Cómo podemos probar este resultado?

Por favor, ayúdame. Tengo mucha curiosidad por saber cómo se puede probar esto.

Answer 1

Realizar el cambio de variables: $z = e^{ix}$ Entonces.., $x = \frac {1}{i} \log (z)$ . La integral toma la forma:

$ I = \Re \int_ {|z|=1 \arg (z)=0}^{|z|=1 \arg (z)= \frac { \pi }{2}} \log \big (-( \log (z))^2 +( \log ( \frac {z^2+1}{2z}))^2 \big ) \frac {dz}{iz} $

Se añade la parte real, ya que el logaritmo del coseno es singular en $x = \frac { \pi }{2}$ y puede recoger una parte imaginaria. Expresando la diferencia de los cuadrados como un producto que obtenemos:

$ = \Re\int_ {|z|=1 \arg (z)=0}^{|z|=1 \arg (z)= \frac { \pi }{2}} \big ( ( \log ( \log ( \frac {z^2+1}{2})) + ( \log ( \log ( \frac {z^{-2}+1}{2})) \frac {dz}{iz}$ .

La segunda parte de la integral puede ser llevada a la forma de la primera parte por la transformación $z \rightarrow z^{-1}$ Así que

$ I = \Re\int_ {|z|=1 \arg (z)=0}^{|z|=1 \arg (z)= \pi } \big ( ( \log ( \log ( \frac {z^2+1}{2})) \frac {dz}{iz}$ .

El integrando es invariable bajo la transformación $z \rightarrow -z$ por lo tanto..: $ I = \Re\frac {1}{2} \oint_ {|z|=1 } \big ( ( \log ( \log ( \frac {z^2+1}{2})) \frac {dz}{iz}$ .

El numerador no tiene polos en el disco de la unidad, por lo que utiliza el teorema del residuo:

$I = \Re \frac {2 \pi i}{2 i} \log ( \log (-2)) = \pi \log ( \log (2))$ .

Answer 2

Ya que el otro hilo fue marcado como duplicado, publicaré mi solución aquí también.

La integral es: $$2 \Re\int_0 ^{ \pi /2} \ln\ln\left ( \frac {1+e^{2ix}}{2} \right )\,dx=2 \Re\int_0 ^{ \pi /2} \ln\left ( \ln\left (1+e^{2ix} \right )- \ln 2 \right )\,dx$$ Considere $$f(x)= \ln ( \ln (1+x)- \ln2 )$$ Alrededor de $x=0$ La expansión de Taylor puede escribirse como..: $$f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0) \frac {x^2}{2!}+f'''(0) \frac {x^3}{3!}+....$$ Reemplazar $x$ con $e^{2ix}$ . Noten que la integración de los poderes de $e^{2ix}$ resultaría en un cero o un número puramente imaginario y como los derivados de $f(x)$ en $0$ son reales, necesitamos considerar sólo el término constante, es decir $f(0)$ . Desde $f(0)= \ln (- \ln 2)= \ln\ln 2+i \pi $ por lo tanto.., $$2 \Re\int_0 ^{ \pi /2} \ln\left ( \ln\left (1+e^{2ix} \right )- \ln 2 \right )\,dx=2 \int_0 ^{ \pi /2} \ln\ln 2\,dx= \boxed { \pi\ln\ln 2}$$

$ \blacksquare $