Demostrar la existencia de un conjunto en el plano euclidiano

Question

Me he atascado en el siguiente problema. Demostrar que existe un subconjunto $A$ de $\mathbb{R}^2$ de manera que cada línea de $\mathbb{R}^2$ pasa exactamente por dos puntos en $A$ . Sé que debería aplicar el axioma de elección de alguna manera inteligente pero no se me ocurre. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Considere $A$ para ser el conjunto de todas las líneas, nótese que su cardinalidad es $2^{\aleph_0}$ , por lo que podemos enumerarlo $A=\{L_\alpha\mid\alpha<2^{\aleph_0}\}$ .

Definimos por inducción transfinita conjuntos $C_\alpha\subseteq\Bbb R^2$ tal que para cada $\beta,\alpha<2^{\aleph_0}$ : $|C_\alpha|<2^{\aleph_0}$ y $|C_\alpha\cap L_\beta|\leq 2$ .

Si $C_\beta$ se definió para todos los $\beta<\alpha$ , dejemos que $\gamma$ sea el menor ordinal tal que $L_\gamma\cap\bigcup_{\beta<\alpha} C_\beta$ tiene como máximo un punto. Dado que dos líneas distintas se encuentran a lo sumo en un punto, el conjunto $\bigcup_{\delta<\gamma}(L_\delta\cap L_\gamma)$ tiene tamaño $<2^{\aleph_0}$ y por lo tanto el conjunto $L_\gamma\setminus\Big(\bigcup_{\beta<\gamma} L_\beta\, \cup\, \bigcup_{\beta<\alpha} C_\beta\Big)$ es no vacía, y podemos elegir $x_\alpha$ de ella.

Dejemos que $C_\alpha=\bigcup_{\beta<\alpha} C_\alpha\cup\{x_\alpha\}$ . Y que $C=\bigcup_{\alpha<2^{\aleph_0}} C_\alpha$ ser nuestro conjunto. Como esto es una tarea para casa, te dejo que verifiques esta parte (y que formalices mejor el argumento anterior).

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Igualmente, y quizás más fácilmente, se podría hacer esto con el lema de Zorn, definiendo el conjunto de orden parcial de todos aquellos subconjuntos del plano que se encuentran con cada línea en como máximo dos puntos, y ordenarlo por inclusión.

Demuestre que toda cadena tiene un límite superior (es decir, la unión creciente de tales conjuntos es a su vez un conjunto con esta propiedad), y concluya que el elemento máximo es el que busca.