Desigualdad con expectativas

Question

Teniendo en cuenta variables aleatorias $X$ y $Y$ es cierto siempre que;

$$E(XY)^2 \le E(X^2)E(Y^2)$$

¿Es fácil de probar?

Answer 1

Voy a suponer que quieres decir $$(E(XY))^2 \le E(X^2)E(Y^2).$$ Una manera de probar esto es darse cuenta de que es un caso especial de la de Cauchy--Schwarz desigualdad.

Aquí hay otro. Vamos $$ f(t) = E((tX+Y)^2) = (E(X^2)) t^2 + 2(E(XY))t + E(Y^2) = a^2 + bt + c. $$ donde $t$ es "constante", es decir, no al azar. Claramente $E((tX+Y)^2)\ge0$ para todos los valores reales de a $t$. Ahora recuerdo que por real $a,b,c$, el polinomio $at^2 + bt+c$ sigue siendo no-negativos como $t$ cambios si y sólo si $a\ge0$ y el discriminante $b^2-4ac\le0$. Así $$ b^2-4ac = 4(E(XY)^2 - 4(E(X^2))(E(Y^2)). $$ Así $$ 4(E(XY)^2 - 4(E(X^2))(E(Y^2))\le0. $$ Dividir ambos lados por $4$, y ahí lo tienen.

Answer 2

La expectativa de un producto de variables aleatorias es un producto interno, a los que puede aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz y obtener exactamente esa desigualdad. Por lo tanto, la respuesta es sí.

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality#Probability_theory

Answer 3

Esto se conoce como la desigualdad de Cauchy Schwarz para Variables aleatorias.