Evaluación de

Question

$\lim_{x \rightarrow 0^+} x^{\frac{1}{x}}$

Mi entrenamiento:

Que $y$ sea la respuesta al límite.

\begin{align}y = \lim_{x \rightarrow 0^+} x^{\frac{1}{x}}&\implies \ln\ y = \lim_{x \rightarrow 0^+} \ln\ x^{\frac{1}{x}}\\&\implies\ln\ y = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} \ln\ x \\&\implies\ln\ y = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln\ x}{x}\end {Alinee el} y por la regla de L'Hopital:

$$\ln\ y = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} \implies y = e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x}}$$

Por lo tanto: $y = e^{\infty} = \infty$. Respuesta correcta: $0$

¿Qué ocurre con mi respuesta? ¿Y por qué es el % de respuesta $0$?

Answer 1

Haces bien, hasta aplicar l'Hôpital a $$ \lim_{x\to0}\frac{\ln x} {x} $$ que no se puede hacer, porque es ni $0/0$ ni $\infty/\infty$. Este límite es $-\infty$, por lo que su límite es $\lim_{t\to-\infty}e^t=0$.

Answer 2

Es mucho más fácil establecer $\ln x = t, x= e^t$ a $-\lim_{t \to \infty} t e^t = - \infty$, por lo que el resultado es 0

Answer 3

Que $n=\frac{1}{x}$

$$0\leq\lim_{x\rightarrow 0^+} x^{1/x}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}\right)^n\leq\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}\right)=0$$

Answer 4

reescribir como $\lim\limits_{x\to 0^+}\exp(\ln(x^{1/x}))=\lim\limits_{x\to 0^+}\exp(\frac{\ln(x)}{x})=\exp\bigg(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac 1 x \lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)\bigg)$

Que $M>0$ y % que $\delta =1/M.$y $\frac{1}{x}>\frac{1}{1/M}=M$ % todo $ 0<x<\delta \Longrightarrow \lim\limits_{x\to 0^+}\frac 1 x =\infty$

y $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$

$$\boxed{\color{gray}{"\exp(-\infty\cdot \infty)"}=0}$$

Answer 5

Tu error está en el paso donde se aplica la regla de L'Hopital en $\frac{\ln x}{x}=\frac{-\infty}{0}$. Así que en lugar de otro escribir %#% $ #%