Prueba $\| A(A^TA)^{-1}A^T\|_2 = 1$ cuando la fila de la matriz $A$ $n$

Question

Dado una matriz $A \in R^{m \times n}$ y cuyo rango es $n$. Necesito mostrar $\| A(A^TA)^{-1}A^T\|_2 = 1$. Puede cualquier sugerencia me la dirección en la que debo resolver. ¿Debo utilizar cualquier descomposición de la matriz $A$ para mostrar el resultado?

Answer 1

Voy a explicarlo de una geometría de la perspectiva.

Vamos $P=A(A^TA)^{-1}A^T$. $P$ en realidad es una proyección ortogonal de la matriz de satisfacciones $P^2=P$$P^T=p$. Deje $x\in\mathbb{R}^m$. A continuación, $Px$ es la proyección ortogonal de a $x$ en la columna espacio de $A$.

Considere la posibilidad de una base ortogonal $\{x_i\}_{i=1}^n$$\mathrm{Range}(A)$. A continuación,$Px_i=x_i$. Considere la posibilidad de una base ortogonal $\{y_i\}_{i=1}^{m-n}$ del complemento ortogonal de $\mathrm{Range}(A)$,$Py_i=0$.

Por lo que la matriz de $P$ $n$ autovalores 1 y $m-n$ autovalores como 0. Si $\|*\|_2=\sigma_{\max}(*)$, de curso $\|P\|_2=1$.

Answer 2

Un argumento sin geometría va como esto:

Según Shiyu $P^2=P$ y por lo tanto, $\|P\| = \|P^2\|\leq \|P\|^2$ y por consiguiente $1\leq \|P\|$. Por otra parte, $P^T=P$ y por lo tanto, $\|Px\|^2 = \langle Px,Px\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \|Px\|\|x\|$ $\|P\| \leq 1$ que.

Answer 3

Deje $H = A(A^TA)^{-1}A^T$. A ver que $x\mapsto Hx$ ( $x\in\mathbb{R}^m$ ) es la proyección ortogonal sobre el espacio columna de a $A$, es suficiente para demostrar dos cosas:

• Si $x$ está en el espacio columna de a$A$,$Hx=x$.
• Si $x$ es ortogonal a todas las columnas de a$A$,$Hx=0$.

Para probar la segunda declaración, aviso que si $x$ es ortogonal a todas las columnas de a$A$,$A^T x = 0$. Por lo tanto,$A(A^TA)^{-1}A^Tx = 0$.

Para demostrar la primera declaración, aviso que $x$ está en el espacio columna de a $A$ fib $x = Aw$, para algunas de las $w$. Por lo tanto $$ Hx = HAw = \Big(A(A^TA)^{-1}A^T\Big) Aw = A(A^TA)^{-1}\Big(A^T\Big)w = Aw = x. $$

Ahora vamos a $x$ ser cualquier vector en $\mathbb{R}^m$. Descomponer $x$ a un componente en la columna espacio de $A$ y un componente ortogonal para el espacio columna de a $A$. El componente en la columna espacio de $A$$u=Hx$. La componente ortogonal para el espacio columna de a$A$$v=(I-H)x$. Entonces, ¿qué es $\|Hx\|_2$? Es $\|u\|_2 \le \|u+v\|_2 = \|x\|_2$. Desde $\|Hx\|_2 \le \|x\|_2$,$\|H\|_2 \le 1$. Pero desde $\|Hu\|_2= \|u\|_2$,$\|H\|_2\ge1$.

Answer 4

Probablemente me falta algo, pero desde $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, por qué no sólo

$$A(A^TA)^{-1}A^T = A(A^{-1}(A^T)^{-1})A^T = (AA^{-1})((A^T)^{-1}A^T) = II = I$$ ?