Integral de contorno.

Question

Considere la función $y(x)$ definido por $$y(x)=e^{x^2}\int_{C_1'}\frac{e^{-u^2}}{(u-x)^{n+1}}du$$where $C_1'$ es como se muestra

El Autor hace la siguiente reclamaciones sobre el comportamiento de $y(x)$ en el límite de un gran $x$ (se supone que el $n>-\frac{1}{2}$, pero no integral).

1) Como $x\rightarrow+\infty$, el camino de la integración de $C_1'$ se mueve hacia el infinito, y la integral en la expresión anterior tiende a cero, como se $e^{-x^2}$.

2) Como $x\rightarrow-\infty$, sin embargo, el camino de la integración se extiende a lo largo de la totalidad del eje real, y la integral de la expresión no tienden $\boldsymbol{exponentially}$ a cero, por lo que la función de $y(x)$ se convierte en infinito esencialmente como $e^{x^2}$.

En cuanto a la segunda afirmación, puedo ver que las integrales sobre las partes del contorno por encima y por debajo del eje real no va a cancelar desde $n+1$ no es integral. Entiendo que estas estimaciones son correctas, pero no han sido capaces de ver exactamente cómo. Cualquier indicación en la dirección correcta sería muy útil.

Gracias.

Answer 1

Supongo que el círculo es la parte de círculo de radio $1$$x$. Luego el camino se separa en tres partes, dos halflines en el eje real, y el círculo.

En el círculo de la parte, el integrando es delimitada por $e^{-(|x|-1)^2}$ y su longitud es de $2\pi$, por lo que la integral es una $O(e^{-x^2+2x})$.

Luego de su autor, a continuación, parece que la afirmación de que la integral en la halfline no convergen a $0$. No estoy de acuerdo con eso, $\int_\Bbb R e^{-u^2} du$ es finito, y $\frac 1{(x-u)^{n+1}} \le 1$$u \ge x+1$, lo que se puede aplicar el teorema de convergencia dominada para mostrar que $\lim_{x \to - \infty} \int_{x+1}^\infty \frac {e^{-u^2}}{(u-x)^{n+1}} du = 0$

Dado que tanto las integrales tienden a $0$$x \to - \infty$, obtenemos que $g(x)$$o(e^{x^2})$.

Más precisamente, el halfline integral debe ser un $\Theta(|x|^{-n-1})$$x \to - \infty$, esto hace que $y(x)$$\Theta(e^{x^2}|x|^{-n-1})$$x \to - \infty$.

Answer 2

En mi punto de vista la mejor forma de comprender el comportamiento de esta función es hacer los cambios de las variables de $v=u+x$.

Por lo tanto $y(x)$ tiene la siguiente forma $$ y(x)=e^{x^2}\int_{C"}\frac{{e^{-(v+x)^2}}}{v^{n+1}}dv $$. Desde $n+1$ no es entero uno lo puede representar en términos de lo habitual (no el contorno) integral $$ y(x)=(1-e^{-2i\pi n})e^{x^2}\int_{C"}\frac{{e^{-(v+x)^2}}}{v^{n+1}}dv $$.

Voy a omitir el factor de $(1-e^{-2i\pi n})$.

Esta integral se puede expresar a través de confluente función hipergeométrica confluente.

$$ y(x)=\frac{\Gamma(-n/2)}{2} F(-n/2,1/2,x^2)-x\Gamma(1/2-n/2)F(1/2-n/2,3/2,x^2) $$, where $F$ es una función hipergeométrica confluente. Para x>0 esta expresión tiene la forma siguiente $$ y(x)=2^n \Gamma(-n)U(-n/2,1/2,x^2) $$, donde U es otra solución de hipergeométrica confluente ecuación.