¿Hay terminología estándar para describir el comportamiento no-absolutamente-al-límite de ${\tan( \log x) \over x}$ como x el infinito de acercamientos?

Question

Supongamos que quiero describir el largo plazo el comportamiento de ${\tan(\log x) \over x}$ a medida que x aumenta hacia positivo verdadero infinito.

Ahora,

$$\lim_{x \rightarrow \infty}{\tan(\log x) \over x}$$

obviamente no existe. Por lo que sería erróneo decir que su límite es 0.

Pero en algunos muy ligeramente holgados sentido, el término obviamente se aproxima a 0 a un lado de la muy ocasional asíntota vertical. Si tuvieras que escoger un punto en el "azar" lejos, muy abajo, el número de la línea (estoy siendo muy impreciso aquí, lo sé), sería una $\epsilon$ desde 0 con una probabilidad de acercarse a 1 como el rango aleatorio estuviera tirando de se hicieron más grandes. Varios summability métodos también que este hecho claro.

Es allí terminología estándar para la obtención de esta idea a través de, o en notación estándar para expresar?

Answer 1

Siguientes Michael Burr sugerencia en los comentarios, si nos vamos a

$$ f(x) = \frac{\tan(\log x)}{x} $$

entonces podemos definir una ejecución de la medida de la $x$'s para que $|f(x)| > a$ fijos $a > 0$:

$$ m_a(x) = \mu\Bigl( \{ t \in \mathbb R : 1 < t < x \text{ y } |f(t)|>\} \Bigr). $$

La reclamación. $$ m_a(x) \sim \frac{2}{\pi} \log x $$ como $x \to \infty$.

Esto nos da una idea de la densidad de los "malos" de los intervalos (intervalos donde $f(x)$ no es pequeño) en la recta real. Por ejemplo, si se había tenido

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{m_a(x)}{x} = \frac{1}{2} $$

podríamos interpretar esto significa que el mal intervalos de tomar hasta aproximadamente la mitad de la línea real. En nuestro caso $\lim_{x \to \infty} m_a(x)/x = 0$, y tiende a cero más rápidamente, por lo que también podemos interpretar esto significa que, proporcionalmente, los malos son los intervalos bastante insignificante.

Prueba de dibujo. Para calcular el ancho de los intervalos donde $|f(x)| > a$ podemos empezar por calcular los puntos en los que $\tan(\log x) = \pm ax$. Lejos de sus polos $f(x)$ va a ser muy cercano a cero, para un gran $x$, por lo que sólo necesitamos investigar los barrios de los polos.

Siguiendo esta idea, el método en esta respuesta puede ser utilizado para demostrar que, para un gran $x$, en el gráfico de $y = \tan(\log x)$

• corta a la gráfica de $y=ax$ $x = e^{(2n+1)\pi/2} - \frac{1}{a} + o(1)$ y
• corta a la gráfica de $y=-ax$ $x = e^{(2n+1)\pi/2} + \frac{1}{a} + o(1)$

para$n \in \mathbb N$$n \to \infty$. Observamos que un gran $x$ de la longitud de los intervalos para los cuales $|f(x)| > a$ enfoques $2/a$, por lo que para

$$ e^{(2n+1)\pi/2} + \frac{1}{a} + \epsilon < x < e^{(2n+3)\pi/2} - \frac{1}{a} - \epsilon \etiqueta{1} $$

y $n$ gran hemos

$$ m_a(x) \approx \sum_{k=0}^{n} \frac{2}{a} \approx \frac{2n}{un}. \etiqueta{2} $$

Para $x$ en el rango en $(1)$ tenemos $n = \frac{\log x}{\pi} + O(1)$, y por lo tanto $(2)$ se convierte en

$$ m_a(x) \approx \frac{2}{\pi} \log x. $$

El reclamo de la siguiente manera a partir de esta estimación.

Answer 2

No es claro para mí cuán amplios son los intervalos de "malo". Si son lo suficientemente estrechas, que entonces podríamos decir las funciones $$f_n(x)=\chi_{[n,\infty)}\frac{\tan(\log x)}{x}$ $ convergen a la constante cero función $f(x)\equiv 0$ a nivel mundial en la medida. Eso significaría que la medida total de los intervalos de "malo" es limitada y va a cero como $n\to \infty$ (es decir, como ignoramos un cada vez mayor segmento inicial de la broca de $\frac{\tan(\log x)}{x}$).