¿Existe una función analítica $f$ tal satisfacer las tres condiciones siguientes?

Question

¿Existe una analítica de la función $f:\{z\in \mathbb C:|z|<1\}\to \{z\in \mathbb C:|z|<1\} $ tal que, $f(0)=1/2$ , $f(1/2)=1/3$ , $f(1/3)=1/4$ ?

He intentado a través de la Schwarz-Pick lema & me encontré con que Schwarz-Pick lema es satisfecho por pares de las dos condiciones. Así que no puedo decir que no existe tal función. También no puedo crear una función de satisfacer las tres condiciones anteriores.

Cómo puedo probar que si una función existe o no ? Si existe un ejemplo de una función de este tipo y por favor, mostrar cómo se crea ?

Actualización :Aug 20,2015

De Nivanlinna de Recogida de Interpolación (sugerido por João Ramos) tengo la recogida de la matriz como

$$\left[\begin{matrix}3/4&5/6&7/8\\5/6&32/27&11/10\\7/8&11/10&135/128\end{matrix}\right].$$

He encontrado que uno de los eigen valor es negativo.

Así, la matriz NO es no positiva definida. Por lo que podemos concluir que este tipo de una analítica de la función no existe la satisfacción de las tres condiciones.

Pero encontrar la matriz si no es positiva definida o NO (en este caso) es demasiado laborioso. Así que quiero otro enfoque para resolver el problema...

Answer 1

Es un teorema de Pick que el problema de interpolación

$$ f(z_j) = w_j $$

Tiene una solución cuando $f$ es analítica en el disco de la unidad y Bounded por uno si y sólo si

$$ Q(t_1,...,t_n) =\sum_{l,j} \frac{1-w_j\bar{w_l}}{1-z_j\bar{z_l}} t_j \bar{t_l} $$

Es una forma cuadrática no negativa. Trate de usar esto, como por lo menos todos los puntos son reales.

Alternativamente, puede intentar utilizar las funciones de la forma $\prod \frac{z-v_i}{1-\bar{v_i}z}$, como generalmente conocemos cómo afrontar las transformaciones de Möbius.

Answer 2

Para determinar si la matriz de selección es positiva que semi definitivo, no tienes que encontrar los valores propios.

La matriz es hermitean, así que es suficiente para comprobar si todos los menores principales son no negativos. Dudo que hay un método más rápido (en general).

Answer 3

(Esto no es completamente independiente de enfoque; en la profundidad es igual que el de Schwarz-Pick.)

Usted puede eliminar las limitaciones de uno en uno por el siguiente truco. Supongamos que necesitamos para determinar si existe una función $f(z):D\to D$ ($D$ es la unidad de disco) satisfacer algunas de las limitaciones de $f(a_k)=b_k$ ($k=1,2\ldots,n$).

(i) por supuesto, si $|b_k|>1$ cualquier $k$, $f_1$ no existe. Si $|b_k|=1$ algunos $k$ $f$ debe ser constante.

De lo contrario, una composición con $\dfrac{z-b_1}{1-\bar{b_1}z}$, así que vamos a $f_1(z)=\dfrac{f(z)-b_1}{1-\bar{b_1}f(z)}$. La función de $f_1(z)$ debe satisfacer $f_1(a_k)=\dfrac{b_k-b_1}{1-\bar{b_1}b_k}$. Por el contrario, si $f_1$ existe, podemos tomar $f(z)=\dfrac{f_1(z)+b_1}{1+\bar{b_1}f_1(z)}$. Por lo $f$ existe si y sólo si $f_1$ existe.

(ii) La función de $f_1$ tiene una raíz en $a_1$, por lo que podemos dividir por el Blascke-factor de $\dfrac{z-a_1}{1-\bar{a_1}z}$ y definen $f_2(z) = f_1(z) \cdot \dfrac{1-\bar{a_1}z}{z-a_1}$. La singularidad en $a_1$ ha sido eliminado, por lo $f_2$ es analítica. Desde el Blaske-factor (cerca de) la unidad de longitud en (casi) el límite, $f_2$ también es una $D\to D$ función o una unidad constante. De nuevo, podemos revertir este paso, de $f_2$ podemos construir $f_1$ multiplicando por $\dfrac{z-a_1}{1-\bar{a_1}z}$. Por lo tanto, $f_1$ existe si y sólo si $f_2$ existe. Aviso que no tenemos ninguna restricción en $f_2(a_1)$, por lo que sólo tenemos $n-1$ limitaciones en $f_2$.

La repetición de los pasos (i) y (ii), podemos encontrar una restricción en la que el valor debe ser mayor que (o igual a) $1$, lo que demuestra que el $f$ no existe o se especifica la unidad de la constante --, o podemos eliminar todas las restricciones, así que al final sólo necesitamos la existencia de una sola $D\to D$ funcionar sin ningún tipo de restricción, que construye todas las soluciones de la cuestión.

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Sobre la pregunta concreta, \begin{align*} & \text{there exists %#%#% with %#%#%, %#%#% and %#%#%} & \\ \Longleftrightarrow\quad & \text{there exists %#%#% with %#%#%, %#%#% and %#%#%} & \qquad (f_1(z)=\tfrac{f(z)-\frac12}{1-\frac12f(z)}) \\ \Longleftrightarrow\quad & \text{there exists %#%#% with %#%#% and %#%#%} & \qquad (f_2(z)=f_1(z) \cdot \tfrac1z) \\ \Longleftrightarrow\quad & \text{there exists %#%#% with %#%#% and %#%#%} & \qquad (f_3(z)=\tfrac{f_2(z)+\frac25}{1+\frac25f_2(z)}) \\ \Longleftrightarrow\quad & \text{there exists %#%#% with %#%#%} & \qquad (f_4(z)=f_3(z) \cdot \tfrac{1-\frac12z}{z-\frac12}) \\ \Longleftrightarrow\quad & \text{false} & \end{align*}