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Cardinalidad de $\sigma$ -generada por una familia infinita de conjuntos

Dejemos que $\mathcal{F}$ sea una familia infinita de subconjuntos de $X$ de cardinalidad $\kappa$ (así $\kappa$ es un cardinal infinito). A partir de la descripción recursiva de los generados $\sigma$ -álgebra, sé que el $\sigma$ -Álgebra $\langle \mathcal{F}\rangle$ que es generado por $\mathcal{F}$ tiene como máximo la cardinalidad $\kappa^{\aleph_0}$ . Por otra parte, dado que $\langle \mathcal{F}\rangle $ contiene $\mathcal{F}$ , $\langle \mathcal{F}\rangle$ tiene una cardinalidad de al menos $\kappa$ . Por lo tanto, tenemos $\kappa\leq |\langle \mathcal{F}\rangle |\leq \kappa^{\aleph_0}$ . ¿Es cierto que $|\langle \mathcal{F}\rangle |=\kappa^{\aleph_0}$ ? No estoy muy familiarizado con la aritmética cardinal, gracias por cualquier ayuda.

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Trate de tomar $\mathcal {F} $ para ser un álgebra sigma en sí misma. Entonces es obvio cuál es la cardinalidad del álgebra sigma generada.

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@PhoemueX En este caso, creo que tenemos $\kappa^{\aleph_0}=\kappa$ . Obsérvese que no existe $\sigma$ -con cardinalidad $\aleph_0$ . Por lo tanto, si $\mathcal{F}$ mismo es un $\sigma$ -debe tener una cardinalidad mayor que $\aleph_0$ . En este caso, podemos tener $\kappa=\kappa^{\aleph_0}$ . De hecho, si $\kappa=c$ la igualdad se mantiene.

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Decidir si $\kappa =\kappa^\aleph_0$ parece ser un problema difícil ( math.stackexchange.com/questions/184746/ ), posiblemente incluso indecidible en ZFC. Si asumimos la hipótesis del continuo generalizado, esto es válido para todos los conjuntos incontables. Pero en general, parece ser difícil. Nótese también que toda álgebra sigma infinita tiene al menos la cardinalidad del continuo.

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hot_queen Puntos 4703

Sí. Si $B$ es un álgebra booleana infinita completa sigma, entonces $|B| = |B|^{\aleph_0}$ . Se puede encontrar una demostración en el Handbook of Boolean algebra Vol. 1, teorema 12.2.

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Gracias por su respuesta. De la wikipedia es.wikipedia.org/wiki/Complete_Boolean_algebra sé lo que es un álgebra booleana completa. Pero, ¿qué significa el álgebra de Boole completa infinita?

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Significa que todo subconjunto contable de $B$ tiene un supremacía. Así que cada álgebra sigma es un ejemplo.

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Es una noción más débil que el álgebra booleana completa, ¿no?

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