¿Aplicaciones de la teoría descriptiva de conjuntos a la lógica matemática?

Question

El artículo de la Wikipedia Descriptivo de la Teoría de conjuntos afirma que tiene aplicaciones de la lógica, pero no da ejemplos. Kechris' texto Clásico Descriptivo de la Teoría de conjuntos no sobre la lógica de las aplicaciones, a juzgar por la Tabla de Contenido disponible en Amazon, ni David del Marcador Descriptivo de la Teoría de conjuntos.

El único texto que he encontrado hasta ahora es Moschovakis' Descriptivo de la Teoría de conjuntos, donde el Capítulo 8 está dedicado a Metamathematics.

Hay otros recursos que a nadie le gustaría recomendar? -- Gracias.

Answer 1

Una de las aplicaciones que tengo en mente es en contables del modelo de la teoría:

Vaught de la conjetura: Si $T$ es una completa contables de primer orden de la teoría, entonces el número de nonisomorphic contables modelos de $T$ es contable o $2^{\aleph_0}$

Sela y Harrington demostrado la conjetura de $\omega$-estable teorías, pero el problema general es todavía abierto (puede ser el más largo problema abierto en el modelo de la teoría, pero no estoy muy seguro).

Sin embargo, resulta que a un problema más general puede ser expresada en términos de grupo polaco acciones:

Topológico Vaught de la conjetura: Vamos a $G$ ser un grupo polaco con un Borel medible de la acción en un espacio polaco $X$ y deje $A$ ser un conjunto de Borel de órbitas, entonces cualquiera de las $A$ contiene en la mayoría de los countably muchas de las órbitas, o $A$ contiene un conjunto perfecto de $B$ de manera tal que cada uno de los dos elementos de la $B$ se encuentran en diferentes órbitas.

Desde clases de isomorfismo de $L_{\omega_1,\omega}$ teorías corresponden a ciertas órbitas de grupo polaco acciones, TVC implica VC.

Consulte este artículo para obtener más información: http://www.jstor.org/stable/2275907

Answer 2

Echa un vistazo a un libro llamado Recursivo Aspectos Descriptivos de la Teoría de conjuntos.

Básicamente, como el libro ilumina, casi todos los teoremas sobre la hyperarithmetic jerarquía, por ejemplo, hyperarithmetic=$\Delta^1_1$ son sólo efectivas versiones de sus contrapartes en efectivo descriptivo de la teoría de conjuntos (en este caso la contraparte sería que Borel =$\mathbf{\Delta^1_1}$ (que es una negrita de la clase). De hecho, la analogía es en realidad un poco más fuerte y resultados acerca de hyperarithmetic conjuntos de los números enteros pueden ser considerados como resultados de manera efectiva presentan los conjuntos de Borel.

Ok, así que toma una dirección. Argumentos en el descriptivo de la teoría de conjuntos puede ser refinado para proporcionar argumentos clave en la teoría de la computabilidad. Hay un montón de otros ejemplos de este así, por ejemplo, el conjunto perfecto y teorema de los resultados sobre árboles binarios con no computable en las ramas. También de inspiración ha sido tomado de los resultados de Borel las relaciones de equivalencia. Si usted quiere conseguir realmente hardcore creo que Borel determinación ha sido utilizado por (Slaman? con el Acero?) para demostrar la no-existencia de ciertos tipos de uniforme de la mitad-saltar a los operadores (I pueden ser misremembering esta un poco pero resultados similares se apodera).

De ir en la otra dirección es un poco más difusa, dependiendo de lo que usted desea llamar descriptivo de la teoría de conjuntos vs teoría de conjuntos versus alta la teoría de la recursividad, pero hay un montón de aplicaciones de la computabilidad teoría de los métodos para generar un conjunto teórico de los resultados.

Answer 3

Si buscas ejemplos de otras ramas de la lógica, creo que mayor teoría de la computabilidad utiliza algunos efectiva teoría descriptiva. Consulte $\textit{Higher Recursion Theory}$ por sacos para más información sobre esto.